Los ovillos de Alba, ¿un punto de longitud unidad?

"En ocasiones te tropiezas con la belleza en el lugar más inesperado y de la forma más sorprendente. Recientemente me la he encontrado cara a cara en una investigación "doméstica", en la que me ocupo por afición.
Se me ha presentado en forma de una figura geométrica que desconocía y que he llamado "ovillo de Alba". Consiste en infinitas circunferencias, infinitesimales, tangentes exteriormente a otra situada en el centro de todas las demás, e igual a ellas. La longitud de todo el ovillo (de las infinitas circunferencias) es igual a la unidad y se confunde con un punto. Esta figura geométrica casi se podría definir como "un punto de longitud la unidad". Prácticamente no se puede ver y sin embargo está. Su belleza va directamente a la inteligencia porque los ojos son incapaces de verla.

Multiplicando su magnitud por "n", y hallando el límite para "n" tendiendo a infinito, observamos que se convierte en un ovillo "visible", en donde todas las circunferencias que lo forman tienen una longitud igual a uno. Precisamente, la misma longitud que el "ovillo de Alba" de orden inferior. En estas figuras, cada orden de magnitud está separado del inmediato superior o inferior por una magnitud infinita. Sin embargo, las infinitas circunferencias sumando sus longitudes acceden a la magnitud inmediatamente superior.
Infinitas cosas insignificantes consiguen significado en un orden superior: toda una lección de belleza y de "solidaridad geométrica" (El País Digital, 13-04-99).

Estas figuras u ovillos relacionan los valores 1/n y n , y cambian de forma según varía el valor de n. En este primer caso n=4 (cuatro figuras enlazadas). Si hacemos que el valor del lado sea 1/n, el perímetro valdrá n. El lado medirá 1/4 y como son 16 lados, el perímetro sería: (1/4) x (4x4)= 4. En las figuras posteriores, que he representado, n tomará los valores 6 y 11 (seis y once figuras enlazadas).

En la serie general de estos ovillos, la primera figura sería un segmento de longitud unidad. La segunda de las figuras, con n=2, sería un rombo de lado 1/2 y perímetro 2. La tercera una especie de trebol de tres hojas (n=3) con lado 1/3 y perímetro 3. Y la cuarta figura es la representada más arriba (n=4), como una especie de cruz. Se observa que para n tendiendo a infinito, la figura estará formada por infinitas circunferencias tangentes en un punto a otra circunferencia interior e igual a estas.

Estas figuras conservan la forma cuando el lado es n (o cualquier potencia positiva o negativa de n), en lugar de 1/n. Pero el nuevo perímetro, para este valor del lado, será n³. La relación entre perímetro y lado sigue siendo, lógicamente, n². Para un valor de n=6 ( seis figuras enlazadas), obtenemos la siguiente figura:





Podemos llamar escala a la relación de logaritmos:
Esc={log(perímetro)}/{log(lado)}.
En el caso de lado 1/n y perímetro n, este cociente o escala es -1, y en el caso de lado n y perímetro n³ será 3. Se pueden encontrar infinitos valores de la escala conforme el lado sea 1/n², 1/n³, 1/n⁴, ..., 1/n^m, para m natural.





Finalmente, como ejemplo, vemos la figura que aparece con n= 11 (once figuras enlazadas):




¿Punto de longitud unidad?:
Si en lugar de tomar el valor 1/n como lado tomamos el valor 1/n², siempre obtenemos un perímetro total que mide la unidad.

Conforme aumente el valor de n, la figura se vuelve más pequeña, porque se enrolla sobre sí misma. Para n tendiendo a infinito la figura "no podríamos observarla", pues la longitud característica que la acota (3/nPi) tiende a cero: ¿es un punto de longitud unidad? . Sin duda algo muy parecido, pero con una estructura definida aunque "invisible".

Una cuestión para reflexionar sobre figuras puntuales que, sin embargo, gozan de una determinada estructura. Volveré, más adelante, sobre estas figuras, u ovillos de Alba (así los he llamado por mi hija Alba) para hablar sobre las fluctuaciones cuánticas del vacío.