2008/09/24

Fractales, una geometría natural

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.


Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.


Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.


Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.


Valor posterior = (valor anterior)2 + constante (Con una condición restrictiva).


La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.


De mi colaboración con Libro de Notas, columna mensual "Ciencias y letras"

4 comentarios:

Kalia dijo...

Seguramente la naturaleza sigue para construirse complejas leyes matemáticas que no son percibidas a simple vista. Descubrir que el crecimiento, la forma del mundo, la vida son fractales nos produce placer porque nos ayuda a empezar a entender algo. Se trata de placer intelectual y placer estético puro. Una vez más, los matemáticos, como ha ocurrido a lo largo de la Historia, nos acercan a una contemplación más profunda de la realidad y nos proporcionan una mirada artística del mundo. Pero me parece que aún nos queda mucho por descubrir acerca de la eficacia matemática de la naturaleza. Aún falta algo. Las imágenes creadas desde el ordenador son magníficas, pero… ¿no os parece que después de mirarlas un rato encontramos algo de artificio todavía, algo que las hace previsibles y que las separa nítidamente de las formas que se producen en la vida o de las creadas sin condicionamientos previos por la voluntad del artista?

Gracias por contarnos el asunto de los fractales de una manera tan inteligible. Saludos

Salvador dijo...

Gracias a ti, Kalia. Los fractales son una mejor aproximación a los mecanismos simples que utiliza la vida, pero no dejan de ser una aproximación. Sin embargo, su nueva mirada complementa la simplicidad geométrica clásica que nos había robado matices imprescindibles.

Un saludo.

Angel dijo...

Gracias por hacerme entender un poquito >:B esta nueva rama matematica,

si con un solo fractal se pueden crear Universos digitales infinitos imagino que en alguna parte estaran intentando simular nuestro universo mediante combinacion de distintos fractales,

¿Conoces algun proyecto que haya emprendido esa aventura?

Lo digo porque me encantaria conocer mas sobre los trabajos que se esten realizando mezclando fractales y Fisica.

Salvador dijo...

Desde luego no hay ningún proyecto en marcha tan ambicioso, pero se utilizan técnicas fractales de compresión de la información, por ejemplo, para comprender las turbulencias o, incluso, para la interpretación de las variables económicas o el ruido en las transmisiones. Recientemente se aplica la geometría fractal a las antenas para conseguir mayores eficiencias en las mismas ( en telefonía móvil, por ejemplo).

Te paso este link, sobre la posible estructura fractal del Universo, que te interesará:
http://www.tendencias21.net/Nuevos-indicios-sugieren-que-el-Universo-podria-ser-fractal_a1464.html

Un cordial saludo fractal.