2009/01/15

Cantor, el infinito y más allá

Mi hija Alba cuando tenía cinco años me sorprendía con afirmaciones, aparentemente trascendentes, sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: " Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo". No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil parecía una evidencia pura e incontestable. Después las matemáticas no han sido, precisamente, su fuerte pero aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños. El post sobre los números primos, su infinitud y su "misteriosa" distribución me hizo reflexionar sobre algunos aspectos del infinito que me han hecho recordar esta anécdota y publicar este post.


En la Grecia antigua Platón, Pitágoras y Aristóles entre otros, se planteaban la existencia del infinito y las contradicciones generadas a partir de la aceptación de su existencia. Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto: el infinito potencial y el infinito actual. La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito. Por otra parte, el infinito actual se refiere al un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Georg Cantor:
El gran matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su vida al estudio del infinito, los distintos infinitos y el llamado continuo, y en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos intimamente relacionada con la teoría de números transfinitos. Cantor fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de "cardinalidad'' o "potencia'' de un conjunto.Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa.



A partir de esta definición se puede establecer la idea de conjunto infinito. Se dice que un conjunto es infinito si existe un subconjunto con la misma cardinalidad o que es equipotente con él. Esta definición plantea una contradicción con la intuición, pues todo subconjunto como parte del conjunto total parece que deba tener menos elementos. Eso es así, efectivamente, en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos como podemos observar con un ejemplo sencillo dentro del conjunto de los números naturales. Supongamos que al número natural 100.000.001 le hacemos corresponder el número 1, al 100.000.002 el 2, al 100.000.003 el 3 y así establecemos una correspondencia número a número tan extensa como queramos. Vemos que a cada elemento del subconjunto de números naturales que comienzan con el 100.000.001 le hacemos corresponder un número, y sólo un número del conjunto total de los números naturales, y viceversa.

Cantor se dio cuenta de que existen diferentes grados de infinitud comparando los infinitos de los números naturales N {1,2,3,...n}, racionales Q (fracciones) y reales R(racionales + irracionales). Al cardinal infinito del conjunto de los números naturales le asignó el número llamado Aleph-0 y vio que era del mismo orden que el correspondiente a los números racionales, aunque estos son mucho más densos en la recta. Pero en el caso de los números reales su cardinal transfinito es de mayor orden pues su conjunto no es numerable (no se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los números naturales). A este cardinal le asignó el nombre de Aleph-1 y se supone que R es capaz de llenar la recta por completo, si se admite la hipótesis del continuo (a diferencia de lo que ocurre con los números racionales, los enteros o los naturales).

El descubrimiento de la existencia de cardinales transfinitos supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían su trabajo no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría, como ocurre con el llamado quinto postulado euclidiano sobre las rectas paralelas. Si se admite tenemos una geometría plana consistente, y si no se admite tenemos nuevas geometrías no planas también consistentes.

Cantor al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. Sus resultados fueron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse.Y Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud".

Empezó a interpretar e identificar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) con Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significó un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.

Reflexiones:
Lo infinitamente pequeño o lo infinitamente grande, las iteraciones hasta el infinito en límites continuos o en fractales parecen conceptos ajenos a lo cotidiano, pero no es así. En las funciones continuas el cálculo infinitesimal (lo infinitamente pequeño) es una herramienta imprescindible para la ciencia y la tecnología, con ella parece que casi conseguimos tocar el propio infinito. Recuerdo la fascinación que consiguieron ejercer sobre mi mente adolescente los límites infinitos y las sumas infinitas de funciones que se aproximan a una función dada (series de Taylor), así como los cálculos de máximos y mínimos aplicados a cosas cotidianas (como el cálculo del mínimo material con el que construir un cazo de un litro de capacidad). Cuando todos estos cálculos lograban materializarse en algo concreto parecía pura magia.

Toda la revolución cuántica se basa en el cuanto de acción, la mínima acción no puede ser infinitamente pequeña o cero, como suponía la física clásica, y de esa propiedad básica emerge el mundo cuántico y toda su "magia". Por otra parte, se creía infinita la velocidad de la luz, pero de su finitud y de la constatación de que es una magnitud constante, independientemente del sistema de referencia, se ha llegado a la más bella teoría física creada por el hombre: la teoría de la relatividad. En estas dos teorías, en su necesaria conjunción descansa la esperanza de poder desentrañar los secretos más intimos de la materia y del espacio-tiempo.

Para consultar:
-Revista Mundo de las Matemáticas del Instituto Tecnológico de Costa Rica.
-"Dios creó los números, los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia" de Stephen Hawking. Una biografía de los 17 mayores genios matemáticos (entre ellos Cantor) Ed. Crítica. ISBN:978-84-8432-753-0
-Muy interesante y completo, desde varios puntos de vista, el tomo 23 de la Revista Investigación y ciencia (año 2001):"Ideas del infinito".
-Estupenda web (de prueba) de Geocites sobre Cantor y los números transfinitos, por Joseph W. Dauben, de su libro:"George Cantor, Su Filosofía de la matemática y el Infinito" (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979; rep. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989).

9 comentarios:

Loky dijo...

Magnífico.

Salvador dijo...

Gracias Loky, y feliz año. Santi ha enviado un comentario que he podido recuperar a través de mi correo:Hola Salvador es agradable volver a leer tus artículos son siempre magníficos a la par que amenos.El asunto que me lleva a escribirte , no tiene nada que ver con Cantor y el problema del continuo,por otra parte muy interesantes.El tema es que me ha surgido una duda entre muchas otras ,que queria que me aclarases,tiene que ver con la teoria de la relatividad especial;voy al tajo ,la reletividad especial explica que estamos viajando a la velocidad de la luz en todo momento en el espacio y en el tiempo,cuando estamos en reposo estamos viajando a la velocidad de la luz en el tiempo ,el vector espacial queda anulado,y al contrario si viajamos en el espacio a la velocidad de la luz la componente temporal queda anulada,hasta ahi bien .Yo estoy ahora mismo en reposo ,pero me estoy moviendo con el movimiento de traslacion y rotacion de la tierra ,el movimiento de la via lactea el grupo local y la espansion del uniberso.La pregunta es,¿ESTE MOVIMIENTO AUNQUE NO ES ACELERADO(A EXCEPCION DE LA EXPANSION),IMFLUYE EN MI MEDIDA DEL TIEMPO,ES MÁS PUEDO CONSIDERAR QUE ME ESTOY DESPLAZANDO Y EL TIEMPO PARA MI PASARA MAS DESPACIO QUE SI NO EXISTIERAN ESTOS MOVIMIENTOS;O SOLO TIENE EFECTOS LA RELATIVIDAD GENERAL ,LOS MOVIMIENTOS ACELERADOS A VELOCIDADES RELATIVISTAS (LOS MÁS SIGNIFICATIVOS)Y LAS GRANDES DISTANCIAS.EN RESUMIDAS CUENTAS ESTOS MOVIMIENTOS(LA TIERRA,GALAXIA, GRUPO LOCAL,EXPANSION),INFLUYEN EN EL ESPACIO -TIEMPO COMBINADO,O SOLO ACTUA LA CURVATURA DEL ESPACIO TIEMPO EN PRESENCIA DE MASAS.
PERDONA POR NO SER MAS ECONOMICO EN EL LENGUAJE, AGRADECERIA QUE ME DIERAS UNA RESPUESTA .SEGURAMENTE LO QUE TENGO ES UNA DIAREA MENTAL Y TENGO UN POCO CONFUNDIDOS LOS CONCEPTOS ,PERO BUENO ,EL TEMA NO ES BALADÍ PERO ES PRECIOSO Y APASIONANTE POR SU APARENTE SIMPLICIDAD.GRACIAS ATENTAMENTE SANTI
.
En realidad el problema surge porque no acabamos de asumir que la velocidad no tiene un sentido absoluto, sino que es relativa. ¿Cuál es nuestra velocidad cuando me estoy moviendo con el movimiento de traslacion y rotacion de la tierra ,el movimiento de la via lactea el grupo local ? La respuesta es depende "CON RESPECTO A QUÉ", pero formulada así, sin más no tiene sentido.

En sistemas de referencia inercial podemos aplicar la relatividad especial, en los sistemas que están afectados por aceleraciones o campos gravitatorios (significativamente fuertes) se aplica la relatividad general: aceleraciones o campos gavitatorios son indistinguibles y producen dilataciones temporales.

Además de las dilataciones temporales la relatividad especial contempla el efecto de las contracción espacial, íntimamente relacionado con el efecto temporal, en la dirección de la velocidad. Cada sistema inercial lleva consigo su referencia espacio-temporal y sólo tiene sentido la comparación con otro, nunca es absoluto.

La llamada paradoja de los gemelos nos permite reflexionar sobre todo esto, en el siguiente link se explica sin fórmulas:

http://eltamiz.com/2007/06/13/relatividad-sin-formulas-paradoja-de-los-gemelos/


Saludos Santi.

Carlos el baterillero dijo...

Buen día

Muy ilustrativa la explicación sobre los conjuntos infinitos no numerables.

Recuerdo partede esta explicación, cuando una mañana el profesor de matemáticas explicaba sobre el Aleph cero...dificil para mi, fue ese curso...han pasado mas de 20 años y debo decirle Salvador, que recién entiendo lo del infinito no numerable, sobre cardinalidad i ordinalidad...muchas gracias.

Saludos
Carlos el baterillero

m dijo...

Felicidades por el artículo y por el blog.

saludos

Kinshian dijo...

Hola Salvador, el artículo, como siempre, me ha gustado mucho pero me he quedado con las ganas de ver a dónde llevaba el enlace de "las series de Taylor".

Joaquín Regadera dijo...

Sin duda el mejor blog al que he entrado nunca. Mis más sinceras felicitaciones. He intentado subscribirme pero no he conseguido hacerlo, ¿podrían ayudarme?
Atentamente,

Salvador dijo...

Gracias a todos amigos. Disculpadme unos días si no actualizo, pero ayer lunes,día 26, después de una penosa enfermedad he enterrado a mi padre.

Un abrazo.

Carlos el baterillero dijo...

Don Salvador

Saludos desde Perú. Dios le bendiga.

Carlos el baterillero

Mauricio Rojas dijo...

Muy interesante el blog, yo hago ciertas investigaciones sobre el infinito Físico no matemático, en Física, el infinito representa una imposibilidad que tiene estancada esta ciencia, colapsan los cálculos al llegar a las singularidades, en el inicio del universo, y la expansión del mismo, en la existencia de infinitos universos paralelos, porque no cabe una física que pueda conciliar la presencia de algo así en estados físicos cuantificables, yo estudio en esa área, n matemática para determinar como pueden existir espacios topologicos con dimensiones infinitas, o como conciliar dos espacios euclideos infinitos diferentes en intersecciones sin que dejen de ser infinitos, cosa que hasta ahora he encontrado que no es posible, porque se forman fronteras naturales, fronteras que son pro definición infinitas, así es muy complejo el asunto, el estudio profundo y serio de este elemento en forma Física posiblemente lleve al descubrimiento de una nueva teoría física.

Saludos.