2009/12/17

El infinito y más allá, los números transfinitos Aleph

A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números finitos o transfinitos, según la cual el número total de fracciones, números enteros y números naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero.

A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales. De forma similar se podría pensar, también, que el número de fracciones es mayor que el de enteros, pero una cosa es lo que parece y otra lo que es.


La clave está en las extrañas propiedades de los números infinitos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos. Para objetos finitos de dos conjuntos diferentes si podemos establecer una "correspondencia uno-a-uno", entre ambos, se puede deducir que tienen el mismo número de elementos. Para un número finito de números naturales ocurre lo mismo, pero lo que es evidente para números finitos deja de serlo para infinitos.

Se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los números enteros de la siguiente forma: 0(entero)--> 0(natural); -1(entero)--> 1(natural); +1 (entero)--> 2 (natural) y así seguimos indefinidamente con la siguiente tabla:



Cada entero y cada número natural aparecen una y sólo una vez en la tabla. Esta correspondencia entre cada par de números entero-natural es lo que establece en la teoría de Cantor que el número de elementos de la columna de enteros es igual al número de elementos en la columna de naturales. Por consiguiente, el número de enteros es el mismo que el de naturales. De forma similar, aunque algo más complicada, se puede probar que el conjunto de fracciones (racionales) tiene el mismo número de elementos que el conjunto de enteros. El número es infinito, pero no importa, es el mismo número.

El gran matemático David Hilbert se inventó la metáfora del Hotel Infinito para explicar de forma intuitiva las paradojas a las que nos enfrenta la existencia de infinidad de infinitos:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi. El gerente
encontró maravillosa esta solución y así lo hizo".


"Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Los conjuntos que pueden ser puestos en correspondencia uno-a-uno con los números naturales se llaman numerables, de modo que los conjuntos infinitos numerables tienen aleph sub-cero elementos.

¡Sorprendentemente, aunque se amplíe el sistema desde los números naturales a los enteros y a los racionales, no incrementamos realmente el número de objetos con los que trabajamos!.

Después todo esto podríamos pensar que todos los conjuntos infinitos son numerables, pero no es así, no sólo hay un tipo de infinito, pues la situación es muy diferente al pasar a los números reales. Cantor demostró mediante el argumento del "corte diagonal" que realmente hay más números reales que racionales. El número de reales es el número transfinito C, de continuo, otro nombre que recibe el sistema de los números reales.

Podríamos pensar en darle a ese número el nombre de aleph sub-uno, por ejemplo. Pero ese nombre representa el siguiente número transfinito mayor que aleph sub-cero y el decidir si efectivamente C = Aleph sub-uno constituye un famoso problema no resuelto, la llamada hipótesis del continuo.

Como curiosidad, ya que estamos hablando de infinitos, el término gugol (en inglés googol) es un número enorme 10100 fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 9 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Kasner anunció el concepto en su libro Las matemáticas y la imaginación. Isaac Asimov dijo en una ocasión al respecto: "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé".

El gúgol no es de particular importancia en las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Kastner lo creó para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito, y a veces es usado de esta manera en la enseñanza de las matemáticas. El motor de búsqueda de google fue llamado así debido a este número. Los fundadores originales iban a llamarlo Googol, pero terminaron con Google debido a un error de ortografía de Larry Page, uno de los fundadores de Google.

21 comentarios:

Anónimo dijo...

Cuando estudié la diagonalidad de Cantor en la universidad me quedé bastante perplejo por la paja mental que se había hecho el señor Cantor!

Me encantó!

Muy buena entrada!

Newlog

Salvador dijo...

Gracias amigo. Felices fiestas.

Protosaurio dijo...

sin aquello de los hoteles jamas lo hubeira entendido, que genial! :D(Y)

mvr1981 dijo...

Creo que se complicaron por gusto....
Es obvio que la cantidad de números es infinita.

Salvador dijo...

Efectivamente, la cantidad es infinita y más allá. Cantor llegó mucho más allá.

Felices fiestas.

gera dijo...

un poco dificil de comprender pero buena entrada y mejor aún el dato curioso

Anónimo dijo...

Bueno y eso no es nada. Deberiais ver la demostracion de porque hay mas numero reales que naturales. Os va a rayar de verdad XDD. Los naturales son infinitos numerables (Alef 0) y los reales son infinitos no numerables (Alef 1).

Un saludo.

Anónimo dijo...

muy interesante el tema, sin embargo con respecto a este tema creo que es uno de los ejemplos de que la matematica es un lenguaje...y como tal puede tener inconsistencias, y a veces abusamos del mismo (como lenguaje) para llegar a concluciones fuera del sentido comun que solo funcionan dentro de la logica de ese lenguaje, mas que nada teniendo en cuenta que razonamientos tan sencillos supuestamente superan este mismo sentido comun....estos artilugios del lenguaje sirven para justificar estas teorias y resultan muy faciles de entender, por eso mismo me cuesta creer que un razonamiento simple pueda superar el sentido comun realmente....un punto de vista nada mas!, muy interesante el articulo!!
Jman

amazonia dijo...

constituye un famoso problema no resuelto, la llamada hipótesis del continuo.

Seguro??

Y dónde dejas a Gôdel y a Cohen??

Salvador dijo...

Realmente es una afirmación de Roger Penrose, en "La nueva mente del emperador", cuando habla sobre los números reales.

Al respecto, y sobre Godel y Cohen,como tu indicas, en la web de matemáticos:
http://www.sinewton.org/cms/

He encontrado esta interesante reseña:
En su forma más simple, la hipótesis del continuo afirma que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el del conjunto de los números naturales y menor que el de los números reales. Si esto es o no una consecuencia de los
axiomas usuales de la teoría de conjuntos, era cuestión que ya se había planteado Cantor, pero que aún estaba por resolver en 1938. Tres eran las posibilidades: que de los axiomas de la teoría de conjuntos se siguiera la hipótesis del continuo; que se siguiese su negación; que no se siguiese ninguna de ambas.

Así las cosas, Gödel excluyó la segunda posibilidad construyendo un modelo en el que se verificaban todos los axiomas de la referida teoría, incluido el de elección, y en el que también la hipótesis del continuo era válida. Para la demostración, altamente compleja, Gödel definió la llamada jerarquía de los conjuntos constructibles, cuya aplicación pronto se extendió a otras ramas de la matemática.

En 1963 Paul Cohen dio "solución final al problema propuesto por Cantor", excluyendo la primera posibilidad. "Cohen probó que la hipótesis del continuo no es consecuencia de los demás axiomas de la teoría de conjuntos, construyendo un modelo en el que todos estos axiomas se verificaban y en el que la hipótesis del continuo era falsa. Se trataba, pues, de una proposición indecidible dentro de la teoría de conjuntos, Sin embargo, quince años antes de que Cohen demostrara su teorema, Gödel había logrado ya probarlo, si bien el resultado jamás fue publicado.

Un saludo amazonia. Felices fiestas

amazonia dijo...

Hola.

Gracias por los apuntes.
Se a cual parte de Penrose te refieres.

En general creo que hay imprecisiones.

quince años antes de que Cohen demostrara su teorema, Gödel había logrado ya probarlo

No cierto. Para probar un tal teorema se requieren dos partes.
La primera fue probada por Godel, como bien anotas. La segunda fue probada por Cohen ( y para ello ideo una nueva tecnica matemática).

La HC ( hipotesis del continuo) y el V postulado de la geo. Euclidiana se pueden considerar como casos típicos de teoremas ejemplo del famoso teorema de la incompletez de Godel:
son indemostrables dentro de un sistema axiomático formal.

Y entonces como se demuestra lo indemostrable pero verdadero?
Siguiendo el curso de accion de Godel y Cohen: construyendo sistemas válidos logicamente donde el tal teo o su negación ( en este caso la HC) sea tomado como axioma.

Fue un trabajo hecho por ambos.


Un saludo y de nuevo gracias por tu atención.

Salvador dijo...

Gracias a ti. Un saludo.

Rafalillo dijo...

Buenas, acabo de publicar en mi blog una entrada de mi sección ‘No es mío, pero es interesante’, en la que he enlazado este post; aquí tienes el enlace:
http://elmundoderafalillo.blogspot.com/2009/12/no-es-mio-pero-es-interesante-vii.html

Espero que mi blog te guste. Felices fiestas ;)

Salvador dijo...

Feliz año Rafalillo. Felicidades por tu blog.
Un saludo.

Anónimo dijo...

Con relación al tema que nos ocupa,opino que el infinito se rie de si hau los aleph 0 o los aleph 1...todos los infinitos,sean cuales sean y de como de les "describa", forman partede un todo sinergico pero no excluiente. Por muchos que haya, a las clases me refiero, siempre habrá otra clase capaz de conteerlos; figémonos si no, p. ejem, en el nº pi: dicho nº con sus infinitas cifras decimales(cosa, dicho sea de paso, que repugna a la razón)pued su infinitud estar incluida en otra que aparentemente tenga huecos,que llenarian otos numeros infinito:raiz de2. etc.También estsría el conjuntoal parecer ifinito) de los nº del tipo a+bi, donde i es una variable aleatoria. Y si aplicamos propiedades i hacemos calculos con los numero infinitod,el resultado es el mismi, aunque nos de -infinito. l concepto de numero( o lo que sea) infinito, ha de serglobal, abarcar todas las clses, todaslas clasificaciones; al fin y al cabotodos presetan una unica particularidad: no tienen primncipio ni fin... aunque eso repugna a la razon. Por lo tanto nos vemos ante un nº no determinado(tambien será i n f i n i t o )de particularidades (unas a más nivel que otras) que a priori nos pueden darla "ilusión" de que sean dierentes. Y eso de que los numeros infinitos, diferenciados en "clses",me lleva a concluir que los numeros no existe, sí desde el punto de vista pragmatico, pero no como entes propios y aislado. -conclusión: TODOS LOS NÚMEROS <CONJUNTOS DE NÚMEROS) FORMAN UN TODO GLOBAL,EN EL QUE SUS PARTES, más o menos diferenciadas cumplen una función primordial: satisfacer, de forma te´rica unos, de forma pragmatica para otros, o quizá, de las dos formas a la vez... pues bien, a ese conjunto yo le llamo,siguiendo la nomenclatura al uso, ALEP ELEVADO A infinito multiplicado R/N. Lo cual lo convierte en una esfera infinita contenedora de todos los infinitos particulares; todo inf. "cabe" en otro infinito. J Penalva. hinvierno de 2012.

Anónimo dijo...

Con relación al tema que nos ocupa,opino que el infinito se rie de si hay los aleph 0 o los aleph 1...todos los infinitos,sean cuales sean y de como de les "describa", forman partede un todo sinergico pero no excluiente. Por muchos que haya, a las clases me refiero, siempre habrá otra clase capaz de conteerlos; figémonos si no, p. ejem, en el nº pi: dicho nº con sus infinitas cifras decimales(cosa, dicho sea de paso, que repugna a la razón)pued su infinitud estar incluida en otra que aparentemente tenga huecos,que llenarian otos numeros infinito:raiz de2. etc.También estaría el conjunto al parecer ifinito) de los nº del tipo a+bi, donde i es una variable aleatoria. Y si aplicamos propiedades y hacemos calculos con los numero infinitos,el resultado es el mismo, aunque nos de -infinito. l concepto de numero( o lo que sea) infinito, ha de ser global, abarcar todas las clses, todas las clasificaciones; al fin y al cabo todos presetan una unica particularidad: no tienen primncipio ni fin... aunque eso repugna a la razon. Por lo tanto nos vemos ante un nº no determinado(tambien será i n f i n i t o )de particularidades (unas a más nivel que otras) que a priori nos pueden dar la "ilusión" de que sean dierentes. Y eso de que los numeros infinitos, diferenciados en "clses",me lleva a concluir que los numeros no existe, sí desde el punto de vista pragmatico, pero no como entes propios y aislado. -conclusión: TODOS LOS NÚMEROS <CONJUNTOS DE NÚMEROS) FORMAN UN TODO GLOBAL,EN EL QUE SUS PARTES, más o menos diferenciadas cumplen una función primordial: satisfacer, de forma teórica unos, de forma pragmatica para otros, o quizá, de las dos formas a la vez... pues bien, a ese conjunto yo le llamo,siguiendo la nomenclatura al uso, ALEP ELEVADO A infinito multiplicado R/N. Lo cual lo convierte en una esfera infinita contenedora de todos los infinitos particulares; todo inf. "cabe" en otro infinito. J Penalva. hinvierno de 2012.

josep vicent molina dijo...

Puede el infinito escribirse en binario?.
Serían infinitos unos?

Anónimo dijo...

Buen artículo y excelente blog, yo intento trabajar psicoanalisis desde Lacan y estos artículos me orientan ya que no soy experto en el tema de la fisica

Anónimo dijo...

Hola, les recomiendo un libro absolutamente revelador y esclarecedor con respecto al tema en cuestión y a otros tantos también:"los principios del cálculo infinitesimal" de René Guenon.

Diana ceron valencia dijo...

hola
pues estoy descuerado algún día se debe encontrar el fin de los números de pronto ya no existamos pero se debe encontrar .

Amazonía dijo...

Bueno Diana, Esa es precisamente la gran diferencia entre matemática y la ciencia (biología, física, química, ...); ¡que no tenemos que ESPERAR en el tiempo para demostrar verdades matemáticas!.

Estas no dependen de la observación porque sus objetos no son como de las 'otras' ciencias, no existen en la realidad. O, ¿a qué te refieres con fin?


No tienes que sentarte a esperar, basta con la demostración, con la 'observación' lógica. Esa es la maravilla de la matemática, puedes demostrar 'cosas' que traten del infinito aunque nuestra pobre y corta vida no alcance a dimensionar semejantes tamaños.


UN saluod