Números primos y sus cuadrados próximos
Representación de los números primos en función de su cuadrado más próximo. Una forma simple de observar su distribución no aleatoria.
¿Son aleatorios?
Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita… Aunque se sabe que está íntimamente conectada con los ceros de la función zeta a través de la hipótesis de Riemann. Y por otra parte, es conocida su distribución en forma espiral, primero por la llamada espiral de Ulam (1963) y posteriormente por la de Sacks (1994).
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| Wikipedia. Espiral de Sacks. Claudio Rocchini. |
Comparando su distribución no aleatoria
Si observamos la lista de los números primos que existen dentro de la primera centena de números naturales, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, es difícil saber si su distribución tiene algo de particular. De hecho, si comparamos esa lista con una distribución aleatoria de 25 números (sin repetición, entre 1/100), 5, 8, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 28, 34, 37, 38, 46, 48, 49, 55, 57, 60, 69, 81, 82, 84, 87, 99, 100, no es fácil determinar grandes diferencias entre ambas listas, a simple vista.
Casualmente, después de leer sobre caminos aleatorios y el último premio Abel, pensé en considerar la sucesión de primos como una especie de camino y se me ocurrió representar los números primos en función de su cuadrado más cercano y ver lo que pasaba... Es interesante, el 2 sería igual a 4-2, el 3 a 4-1, el 5 a 4+1 y así hasta el 97, según la siguiente tabla. Se compara el resultado con otra tabla de 25 números aleatorios, sin repetición, en el mismo rango, 1/100.
25 primeros primos en función de cuadrados.
Observamos que hay 7 parejas de números, marcadas como A,B,C,D,E,F y G que equidistan, por arriba y por debajo, de un cuadrado: el 3 y el 5 tienen en medio al 4, el 7 y el 11 en medio tienen al 9, el 13 y el 19 tienen el 16 y así hasta el 73 y el 89 que equidistan del 81. En la tabla de los números aleatorios no observamos ni una sola pareja de este tipo, aunque no sería extraño observar, casualmente, alguna.
En otros rangos de numeración encontramos más parejas de números primos, por ejemplo: 137 y 151 equidistan de 144, al igual que 139 y 149; igual ocurre con 157 y 181 respecto al cuadrado 169. En el rango de 200/300, tenemos 211 y 239 que equidistan de 225, igual que 223 y 227. Además tenemos el 241 y 271 que equidistan del cuadrado 256.
Distribución en rangos 900/1000 y 9900/10100
En rangos más elevados, por ejemplo en el 800/900, observamos el 881 y el 919 que equidistan del cuadrado 900. Conforme avanzamos y los números son más elevados ocurre menos, porque los cuadrados empiezan a escasear más que los números primos: del 900 al 1000 sólo tenemos dos cuadrados, el 900 y el 961, mientras que existen 14 números primos. En el rango 1/100 existen 9 números cuadrados y 24 números primos, lo que permite que se vea mucho mejor la distribución no aleatoria en base a la mínima distancia con los cuadrados. ¡Hasta en el rango 9900/10100, encontramos tres equidistancias de primos con un cuadrado: el 9931 y el 10069 con el cuadrado 10000, junto con los números primos 9907 y 10093 y los números 9901 y 10099! En los casos en que los números primos no equidistan, exactamente, de un cuadrado central observamos que se sitúan de forma casi simétrica por abajo y por arriba del mismo, dando la impresión de cierto orden alejado, desde luego, de la distribución aleatoria.Posiblemente es este fenómeno el que permite las visualizaciones en espiral de Ulam y Sacks.
Conexión con la física cuántica
…"Existe1 una conexión entre la Hipótesis de Riemann y la física cuántica, recientes descubrimientos vinculan al comportamiento de ciertos elementos a escala atómica con los números primos, parece ser que hay ciertos patrones en los niveles energéticos de los átomos grandes, como los del uranio, que comparten propiedades muy parecidas con ciertos patrones de los números primos, se trata de un patrón tan marcado que no puede ser una mera coincidencia".
Termino como en otro de mis post dedicados a los números primos: Cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos.
Al menos se puede hacer una pequeña acotación en su número:
Número de cuadrados < número de primos < numero de naturales:
{ n1/2 < n/ln(n) < n } siendo n/ln(n) el número de primos hasta n (teorema de nºs primos) y n1/2 es el número de cuadrados hasta n.
Para n--> infinito, las tres expresiones tienden a infinito.
Un abrazo amigos.
Termino como en otro de mis post dedicados a los números primos: Cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos.
Al menos se puede hacer una pequeña acotación en su número:
Número de cuadrados < número de primos < numero de naturales:
{ n1/2 < n/ln(n) < n } siendo n/ln(n) el número de primos hasta n (teorema de nºs primos) y n1/2 es el número de cuadrados hasta n.
Para n--> infinito, las tres expresiones tienden a infinito.
Un abrazo amigos.
Nota. 1: Tomado del blog MasScience. Rzedowski, M., (2006). Los enigmáticos números primos [En línea].México: Departamento de Control Automático del Cinvestav, Recuperado el 1 de Junio de 2018 desde http:// eclipse.red.cinvestav.mx/publicaciones/revista/
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