2016/04/19

Leyes del caos, vida e inteligencia


La ciencia del caos, curiosamente, ha hecho una aportación trascendental para mejorar nuestra comprensión del mundo. Hasta ahora se creía que la vida y con ella la inteligencia eran puras casualidades pero ahora sabemos que la materia, ciega en el equilibrio, manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones alejadas del mismo siempre que haya la necesaria aportación de energía. Con las leyes que rigen nuestro no hubo más que esperar el tiempo necesario para que las estrellas crearan los átomos imprescindibles para la vida y ésta progresara, a través de organismos cada vez más sofisticados y adaptados al ambiente de forma más eficiente, permitiendo que apareciese la inteligencia en especies evolucionadas como la nuestra.


Si la vida y la inteligencia vienen impresas en las propias leyes que nos rigen la posibilidad de vida e inteligencia extraterrestres están aseguradas.Ilya Prigogine, recibió el premio Nobel de Química en el año 1977 por su aporte al conocimiento de las "estructuras disipativas" en el mundo físico, es decir, el estudio de la aparición del orden en condiciones alejadas del equilibrio. El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden. Estas estructuras están en la base de la vida y en ellas el orden se establece en base a ecuaciones de evolución no lineal, de mucha mayor complejidad que cerca del equilibrio en donde las soluciones son mucho más simples y se pueden linealizar.

Potencialidad:
Lejos del equilibrio existen muchas soluciones, potencialidades que no existen cerca del equilibrio. Esta riqueza nos puede guiar mucho mejor para comprender fenómenos complejos como la historia del clima, de la Tierra y de la propia vida. Todo esto está ligado a una estructura de no equilibrio que era incomprensible desde una perspectiva antigua: el no equilibrio no es sólo degradación, sino también construcción. Ni el tiempo repetitivo de la mecánica ni el tiempo-degradación de la termodinámica clásica pueden explicar la riqueza del mundo tal como lo vemos. La naturaleza inventa. Nada es reversible. Y su dimensión temporal dista de agotarse en la concepción matemática de un tiempo absoluto, como la concepción abstracta de la mecánica clásica. En los sistemas sencillos no caóticos su atractor, una especie de representación de sus variables dinámicas, es una figura geométrica simple o un punto, mientras que en los caóticos son figuras de una complejidad extraordinaria llamados atractores extraños. De esa complejidad se pueden extraer infinitas posibilidades para la evolución futura del sistema.


Los mecanismos de organización en las estructuras disipativas sólo pueden aparecer cuando el medio externo mantiene, mediante la aportación energética, el sistema alejado del equilibrio. La estructura es creada y mantenida gracias al intercambio de energía con el exterior. Por eso las llamamos estructuras disipativas. En ciertas condiciones críticas externas, las ínfimas fluctuaciones naturales y constantes de un sistema pueden, en vez de atenuarse, amplificarse y arrastrar el sistema en una u otra dirección. La rama de la bifurcación que escogerá el sistema es imprevisible, pues el fenómeno es aleatorio y parece fruto del azar.

La segunda ley, orden y desorden:
En un sistema aislado, la segunda ley de la termodinámica nos enseña que el desorden, la entropía, aumenta irremediablemente, pero eso no impide que una parte de ese sistema con una aportación de energía y materia de su entorno aumente su orden y disminuya su entropía. La suma total de entropía sigue aumentando, pero esa parte del sistema se organiza a costa de aumentar el desorden a su alrededor. Esa es la historia esencial de los organismos vivos. Cuando las condiciones externas cambian y se vuelven extremas el organismo entra en crisis y aparecen fenómenos aleatorios de bifurcación que le dan opciones de supervivencia. El sistema elige una de las opciones que se adaptará mejor o peor a las nuevas condiciones. Si elige bien vuelve a encontrar un periodo de estabilidad regido por el orden, si vuelve a entrar en crisis volverá el desorden y la nueva elección.

Hasta Prigogine, la ciencia pensaba que la vida era una especie de casualidad, un raro fenómeno difícil de reproducir, pero con Prigogine hemos aprendido que la materia lejos del equilibrio manifiesta potencialidades imposibles en otras condiciones. La intuición de que era posible elaborar una termodinámica general de sistemas vivos o abiertos y de sistemas cerrados, aislados e inertes, le valio a Ilya Prigogine el Premio Nobel de Química.

Algo más sobre el caos:


Historia, dignidad y efecto mariposa.

Efecto mariposa, un atráctor extraño.

2016/03/24

Una propuesta sobre la energía oscura


A proposal on dark energy


Admitiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponiendo que dicha energía sea capaz de recubrir las 9 dimensiones espaciales sugeridas por la teoría de supercuerdas...la energía oscura parece emerger de forma natural.

Admitting a fractal hypothesis for the energy of the quantum vacuum fluctuations and assuming that this energy is capable of coating 9 spatial dimensions suggested by superstring theory ... dark energy seems emerge naturally.
Composición cosmológica. Wikipedia



Fractales, el espacio que son capaces de ocupar
Una curva geométrica clásica tiene una dimensión topológica igual a la unidad, pero una curva fractal es capaz de llenar una superficie (dimensión 2) o, incluso, un espacio (dimensión 3). En estos caso se dice que tiene dimensión 2 ó dimensión 3, pues la dimensión fractal nos indica la capacidad que tiene la curva de ocupar un espacio de mayor dimensión a su dimensión topológica .

El que una curva fractal, cuya dimensión topológica es la unidad, sea capaz de ocupar un espacio de  dimensión 3 sería similar al hecho de que la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas (dimensión 3) fueran capaces de ocupar un espacio hipotético de 9 dimensiones (el sugerido por la teoría de supercuerdas). De hecho, la dimensión fractal relativa sería en los dos casos igual a 3.

Un fractal clásico, el movimiento browniano
Y hablando del espacio que es capaz de llenar un fractal, es interesante resaltar la dimensión fractal de un movimiento totalmente aleatorio en el espacio: el llamado movimiento browniano.
Dado que es capaz de cambiar aleatoriamente de dirección y explorar a lo largo de los tres ejes, podríamos aventurar que este tipo de movimiento llegaría  a recubrir un espacio de tres dimensiones, pero no es así. El movimiento browniano tiene dimensión fractal 2 y sólo sería capaz de llenar una superficie, no un plano.

Este movimiento goza de una propiedad muy curiosa. Imaginemos que medimos la distancia que es capaz de alejarse de un determinado punto; descubriremos que si se han dado n2 pasos, la distancia efectiva recorrida sólo será de n pasos. Es decir, la distancia total recorrida es igual a la distancia efectiva elevada a un factor de 2, que es precisamente su dimensión fractal. Esa misma propiedad es posible generalizarla a fractales de dimensión topológica mucho mayor que 1 si son continuos y, razonablemente, isótropos. Precisamente en estos casos la dimensión fractal relativa actúa de la misma forma que la dimensión fractal en las curvas.Volviendo al caso del movimiento browniano, la distancia efectiva está tomada en una dimensión (la línea recta) mientras que la distancia total recorrida está medida sobre el fractal, en las dos dimensiones que es capaz de recubrir.

Aplicando todo esto a la energía de las fluctuaciones del vacío
Si, con lo visto hasta ahora, nos centramos en la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y suponemos que es capaz de recubrir las 9 dimensiones hipotéticas, que nos plantea la teoría de supercuerdas, encontraremos que la “energía total” es la “energía efectiva” elevada al cubo:  Energ. total = (Energ. efectiva)3  

La energía que hemos llamado “efectiva” es la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío en nuestras 3 dimensiones espaciales y depende del inverso de la distancia. A las distancias de nuestra vida cotidiana esa energía es completamente despreciable, pero conforme disminuyen éstas llega a hacerse significativa, hasta llegar a la llamada energía de Planck que se corresponde con la menor distancia posible llamada longitud de Planck (1,616199 x 10-35  metros). La energía que hemos llamado “total” sería la tomada en las 9 dimensiones hipotéticas. Si llamamos a “n” la distancia, la energía efectiva sería del orden de 1/n y la energía total sería una cantidad  que guarde la misma relación con 1/n que la relación (n3/n). El valor que encontramos es “n”. Es decir la energía “total” será proporcional a la distancia, no al inverso de la misma.                                              

(Ir a (+)Observaciones para entender mejor el hecho de aplicar la proporcionalidad de la relación (n3/n))



Conclusiones
Considerando la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío y que dicha energía sea capaz de recubrir el espacio de 9 dimensiones sugerido por la teoría de supercuerdas, ¡¡¡ encontramos una energía asociada a estas 9 dimensiones que coincidiría en magnitud con la llamada energía oscura!!! Una energía proporcional a la distancia, a diferencia de la energía de las fluctuaciones del vacío cuántico que es inversamente proporcional, capaz de mantener la aceleración expansiva del universo.







(+)Observaciones. Relación necesaria entre números naturales para averiguar la dimensión fractal.
Curva_Koch.png
Curva de Koch

Observamos en la figura la construcción de un fractal clásico llamado curva de Koch. La distancia en línea recta (en una dimensión) entre el extremo  A y el extremo E mide 3 segmentos, la distancia sobre el fractal entre A y E (a través de las dos dimensiones del plano) mide 4. Estas medidas son las que determinan la dimensión fractal de la curva: (log 4)/(log 3).

Imaginemos que al medir en línea recta el segmento AE encontramos un valor fraccionario, por el tipo de unidad de medida utilizada, por ejemplo 1/4. Con esa misma unidad de medida la distancia recorrida sobre el fractal sería de 1/3. Al tratar de hallar ahora su dimensión fractal haríamos el cociente: (log 1/3)/(log 1/4) y el resultado sería distinto, lo que resulta absurdo. Tenemos que encontrar la misma relación entre los dos segmentos pero expresada en números naturales. La encontramos al dividir estas dos fracciones:
1/3:1/4 = 4/3 , y el resultado 4 y 3 es el que buscamos.

En el caso de la proporción directa utilizada más arriba, con 1/n  y la relación (n3 / n) hemos hecho lo mismo. Podemos utilizar relaciones de proporcionalidad entre los segmentos, para tratar de encontrar una sencilla relación entre números naturales, aunque lógicamente, no las podremos utilizar entre los logaritmos de dichos segmentos. Abundando sobre el tema podéis leer este documento y ver este post.

2016/03/02

Las dimensiones extras. ¿Podemos demostrar que existen dimensiones enrolladas?


LHC

Según la teoría de supercuerdas en nuestro mundo existirían nada menos que 10 dimensiones, una dimensión temporal y  9 dimensiones espaciales. De estas dimensiones espaciales 3 serian las dimensiones ordinarias, que conocemos, y las otras 6 estarían enrolladas sobre sí mismas, alrededor de una distancia mínima llamada distancia de Planck, por lo que no serian observables.

Se han diseñado experimentos para tratar de descubrirlas en base a resultados anómalos sobre la atracción gravitatoria de masas a distancias microscópicas o  en  la violación de la conservación de la energía en colisiones en los aceleradores de partículas. También existe la posibilidad de que los mapas, cada vez más detallados, de la energía cósmica liberada en el Big Bang nos indiquen la huella de las dimensiones extras.

Pero puede que exista otra posibilidad de demostrar la existencia de dimensiones extra. Vamos a estudiar un curioso fenómeno que se da en sistemas fractales con un número grande de dimensiones. Partiendo de la hipótesis de que la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tienen una estructura fractal, este fenómeno nos presentaría las dimensiones extra de una forma natural.

LHC

La dimensión fractal

La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la
arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y 3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional, su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del fractal.
Dimensiones enrolladas
Dependencia espacial en los fractales

La líneas fractales gozan de una característica notable con relación a su dependencia espacial: una línea fractal capaz de recubrir el plano, para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L debe recorrer una distancia media L2. A otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre algo similar: para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L, deberá recorrer, como media, una distancia total L3. Es decir, el valor de los exponentes 2 y 3 se corresponde con las dimensiones fractales de las líneas.
Sabiendo la dimensión del fractal podemos calcular su dependencia espacial y a la inversa. Lo que ocurre con las curvas fractales (dimensión topológica 1) lo podemos generalizar a cualquier estructura fractal con mayor dimensión topológica (siempre que sea continua y razonablemente isótropa), dividiendo su dimensión fractal por su dimensión topológica.
Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. A este cociente le llamaremos dimensión fractal relativa:

Dim. frac. relativa = (dimens. topológica+ coef. dimensional )/(dimens. topológica).
                                                     Dfr= (d+e)/d

En nuestro caso conocemos que la energía asociada al vacío depende inversamente de la distancia (L-1). Si fuera una simple línea (dimensión 1) encontraríamos que su dimensión fractal sería -1, pero como la energía es una magnitud tridimensional su dimensión fractal será -3, lo que obedece a un coeficiente dimensional negativo e igual a -6.

Tanto la dimensión fractal como el coeficiente dimensional negativos son resultados anómalos que obedecen a una causa sorprendente que estudiaremos a continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las fluctuaciones que hemos planteado.
Volvamos a fijarnos en una simple hoja de papel que supondremos de espesor despreciable. Si la arrugamos estamos “fabricando” un fractal con dimensión mayor de 2 y menor de 3, es decir estamos sumando a su dimensión topológica un factor dimensional tanto mayor cuanto más intrincado sea su arrugamiento. ¿Pero qué ocurre si sobre la hoja lisa, sin arrugar, realizamos la operación de enrollarla sobre uno de sus extremos de la forma más fina posible?: A su dimensión topológica 2 le habremos restado una de sus dimensiones. En cierta forma, estamos realizando una operación con resultados opuestos al arrugamiento. En un caso se suma un factor dimensional y en el otro se resta.
Si sobre la expresión de la dimensión fractal relativa aplicamos la siguiente transformación de resta de dimensiones, que llamaremos T:

T: Valor (dimens. topológica) --> Valor (dimens. topológica – coef. dimensional),
                                                  T: (d) --> (d-e)

obtenemos la siguiente expresión para un universo con el mismo valor de dimensiones enrolladas que de coeficiente dimensional:


Dim. fractal relativa = (dimens. topológica)/(dimens. topológica – coef. dimensional).
                                                     Dfr= d/(d-e)

Si a esta expresión le igualamos el valor (-1) encontramos que el resultado anómalo obtenido se correspondería al de un universo con 6 dimensiones enrolladas y con un factor dimensional, también, de 6 (d= dimensión topológica=3).


Un poco más sobre el tema, visto de otra forma.

2015/12/26

Cantor, el infinito y más allá


Mi hija Alba cuando tenía cinco años me sorprendía con afirmaciones, aparentemente trascendentes, sobre el infinito y algunas otras cuestiones peliagudas. Recuerdo que un día me dejó perplejo al soltarme a bocajarro: " Papá, el infinito nunca para, siempre se está haciendo". No sé cómo llegó a esa conclusión ni en base a qué, pero en su mente infantil parecía una evidencia pura e incontestable. Después las matemáticas no han sido, precisamente, su fuerte pero aquellas afirmaciones parecían relacionadas con las cuestiones sobre la vida, la muerte o el mundo que parecen preocupar en un momento determinado de la primera infancia a muchos niños. El post sobre los números primos, su infinitud y su "misteriosa" distribución me hizo reflexionar sobre algunos aspectos del infinito que me han hecho recordar esta anécdota y publicar este post.



En la Grecia antigua Platón, Pitágoras y Aristóles entre otros, se planteaban la existencia del infinito y las contradicciones generadas a partir de la aceptación de su existencia. Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto: el infinito potencial y el infinito actual. La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente'' encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito. Por otra parte, el infinito actual se refiere al un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia. 

Georg Cantor:
El gran matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su vida al estudio del infinito, los distintos infinitos y el llamado continuo, y en el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos intimamente relacionada con la teoría de números transfinitos. Cantor fundamentó una axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de "cardinalidad'' o "potencia'' de un conjunto.Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa.



A partir de esta definición se puede establecer la idea de conjunto infinito. Se dice que un conjunto es infinito si existe un subconjunto con la misma cardinalidad o que es equipotente con él. Esta definición plantea una contradicción con la intuición, pues todo subconjunto como parte del conjunto total parece que deba tener menos elementos. Eso es así, efectivamente, en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos como podemos observar con un ejemplo sencillo dentro del conjunto de los números naturales. Supongamos que al número natural 100.000.001 le hacemos corresponder el número 1, al 100.000.002 el 2, al 100.000.003 el 3 y así establecemos una correspondencia número a número tan extensa como queramos. Vemos que a cada elemento del subconjunto de números naturales que comienzan con el 100.000.001 le hacemos corresponder un número, y sólo un número del conjunto total de los números naturales, y viceversa.

Cantor se dio cuenta de que existen diferentes grados de infinitud comparando los infinitos de los números naturales N {1,2,3,...n}, racionales Q (fracciones) y reales R(racionales + irracionales). Al cardinal infinito del conjunto de los números naturales le asignó el número llamado Aleph-0 y vio que era del mismo orden que el correspondiente a los números racionales, aunque estos son mucho más densos en la recta. Pero en el caso de los números reales su cardinal transfinito es de mayor orden pues su conjunto no es numerable (no se pueden poner en correspondencia, uno a uno, con los números naturales). A este cardinal le asignó el nombre de Aleph-1 y se supone que R es capaz de llenar la recta por completo, si se admite la hipótesis del continuo (a diferencia de lo que ocurre con los números racionales, los enteros o los naturales).

El descubrimiento de la existencia de cardinales transfinitos supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían su trabajo no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría, como ocurre con el llamado quinto postulado euclidiano sobre las rectas paralelas. Si se admite tenemos una geometría plana consistente, y si no se admite tenemos nuevas geometrías no planas también consistentes.

Cantor al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. Sus resultados fueron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse.Y Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud".

Empezó a interpretar e identificar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) con Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significó un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.


Reflexiones:
Lo infinitamente pequeño o lo infinitamente grande, las iteraciones hasta el infinito en límites continuos o en fractales parecen conceptos ajenos a lo cotidiano, pero no es así. En las funciones continuas el cálculo infinitesimal (lo infinitamente pequeño) es una herramienta imprescindible para la ciencia y la tecnología, con ella parece que casi conseguimos tocar el propio infinito. Recuerdo la fascinación que consiguieron ejercer sobre mi mente adolescente los límites infinitos y las sumas infinitas de funciones que se aproximan a una función dada (series de Taylor), así como los cálculos de máximos y mínimos aplicados a cosas cotidianas (como el cálculo del mínimo material con el que construir un cazo de un litro de capacidad). Cuando todos estos cálculos lograban materializarse en algo concreto parecía pura magia.

Toda la revolución cuántica se basa en el cuanto de acción, la mínima acción no puede ser infinitamente pequeña o cero, como suponía la física clásica, y de esa propiedad básica emerge el mundo cuántico y toda su "magia". Por otra parte, se creía infinita la velocidad de la luz, pero de su finitud y de la constatación de que es una magnitud constante, independientemente del sistema de referencia, se ha llegado a la más bella teoría física creada por el hombre: la teoría de la relatividad. En estas dos teorías, en su necesaria conjunción descansa la esperanza de poder desentrañar los secretos más íntimos de la materia y del espacio-tiempo.

Para consultar:
- Revista Números : El infinito en las matemáticas.
-"Dios creó los números, los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia" de Stephen Hawking. Una biografía de los 17 mayores genios matemáticos (entre ellos Cantor) Ed. Crítica. ISBN:978-84-8432-753-0
-Muy interesante y completo, desde varios puntos de vista, el tomo 23 de la Revista Investigación y ciencia (año 2001):"Ideas del infinito".
-Estupenda web (de prueba) de Geocites sobre Cantor y los números transfinitos, por Joseph W. Dauben, de su libro:"George Cantor, Su Filosofía de la matemática y el Infinito" (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1979; rep. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989).



Felices fiestas y feliz año amigos!!!

2015/11/26

Libertad cuántica


Hola amigos, en un tiempo tan complicado en el que nuestra libertad parece amenazada por la sinrazón y la barbarie, las partículas más elementales que forman toda la materia de nuestro universo nos dan una lección de su carácter indomable. La libertad, en cierta forma, está impresa más allá de nuestros genes en la esencia de la propia materia. Paso a reeditaros un antiguo post que habla de la "libertad cuántica". Un abrazo.



Las partículas elementales parecen poseer una cierta "libertad cuántica". Para ellas los sucesos no están estrictamente determinados, como lo fueron para las partículas en la física clásica del siglo XIX, y poseen un elemento de elección dentro de ciertos límites, siempre que en promedio obedecezcan las leyes clásicas. El cuanto de acción, h, les da esa libertad.

Tratemos de confinar un electrón dentro de un núcleo atómico. Después de todo ¿por qué no deben los electrones ser un componente de los núcleos como los protones y los neutrones? Los neutrones experimentan una desintegración radiactiva que los convierte en un protón y un electrón (radiación beta). Por tanto, un electrón atrapado por un protón para formar un neutrón parecería una idea razonable, pero el electrón rehúsa cooperar, se niega a ser confinado.

Un electrón confinado a un espacio de dimensiones nucleares debe tener longitudes de onda asociadas a él tan cortas, al menos, como el diámetro del núcleo. Si las ondas fueran mayores significaría que el electrón consume la mayor parte de su tiempo fuera del núcleo, y eso no funcionaría. Sin embargo, las longitudes de onda cortas implican una restricción en espacio, y ello debe estar equilibrado por un incremento del momento con objeto de conservar su cuanto de acción fundamental, h ( (incremento de espacio) x (incremento de momento) = cuanto de acción (h)) . El electrón tendría tanta energía cinética que saldría de su jaula nuclear. El encarcelamiento no puede realizarse. Los electrones no pueden existir dentro del núcleo en un estado estable, a menos que se ejerza una tremenda fuerza para vencer su empuje hacia la libertad.

Sólo una fuerza tan inmensa como la presión de una estrella que se desintegra bajo su propia gravedad puede apiñar electrones en núcleos para formar un cuerpo compuesto completamente por neutrones: la estrella de neutrones. Y ello es una medida gráfica de lo fuerte que es la urgencia de libertad del electrón. Necesita que un cuerpo del tamaño de una estrella se siente sobre él.


Cada vez que tratamos de restringir la libertad cuántica de un electrón, ya sea forzándolo a entrar en algún espacio o dirigiéndolo a través de hendiduras, éste insiste en su libertad de acción y la manifiesta de una forma característica, y no sólo de forma pasiva. Puede promover su libertad violando las leyes ( clásicas) de la conservación de la energía y el momento.


Del estupendo librito " Tiempo, espacio y cosas", de B.K. Ridley, título original "Time, space and things", publicado por Cambridge University Press. Traducción de 1989 del Fondo de Cultura Económica. Pura belleza al servicio de la divulgación científica.

Reciente teoría:

Puede que el comportamiento de las partículas cuánticas no sea tan extraño. Según una reciente teoría que conjuga nuestro conocimiento sobre fractales y agujeros negros, las partículas podrían ser comparadas con una serie de trenes moviéndose sobre una intrincada red fractal de vías. La aparente libertad que observamos en su movimiento se ciñe a ese entramado de vías que desconocemos. No podemos forzar cualquier movimiento arbitrario que permita que el “tren se salga de la vía”.
Ese entramado de vías se correspondería con el llamado conjunto invariante del universo, un mínimo de información subyacente que engloba el número total de estados posibles en el mismo. La supuesta libertad del electrón se ceñiría a seguir ese conjunto mínimo de información que determina, aunque no lo veamos, sus movimientos. (Ciencia Kanija).

2015/10/31

Teoría de cuerdas, números primos y conjetura de Goldbach

La consistencia de la teoría de cuerdas con la que se intentaba explicar la fuerza fuerte, a finales de los 60, requería de 25 dimensiones espaciales en lugar de las 3 usuales,  y además sólo contemplaba partículas bosónicas. A principios de los años 70, para corregir la falta de fermiones, apareció la teoría de supercuerdas y se establecía una simetría entre bosones y fermiones llamada supersimetría. Ahora la consistencia de la teoría requería de “sólo”  9 dimensiones espaciales.

Trayectoria de una cuerda cerrada: Imagen de Tecnociencia.com

En ambos casos el exceso de dimensiones se resuelve con la compactificación de 22 o de 6 dimensiones. Como curiosidad podemos observar que 9 es el cuadrado de 3 (primo) y 25 es el cuadrado de 5 (primo), y por otra parte 22 es 2x11 (primo) y 6 es 2x3 (primo). Como los números primos y sus propiedades siempre resultan interesantes empecé a imaginar una posible ley de formación basada en cuadrados y dobles de primos.


Así, siguiendo la secuencia de los números primos al cuadrado tendríamos:


(Primo_inicial2 -3)/2 = Primo_final {Fórmula inicial}, es decir…
(32 -3)/2 = 3;    (52 -3)/2 = 11;    (72 -3)/2 = 23;    (112 -3)/2 = 59;    (132 -3)/2 = 83   …


Empieza a fallar en el 17, pero sigue cumpliéndose para el 19, 23, 29, 31, 37 y 41. En el 43 vuelve a fallar, pero si en lugar de restar 3 restamos 11 vuelve a cumplirse la ley para 17 y 43. Conforme intentamos seguir observamos que la fórmula inicial deberíamos cambiarla por otra más general:


(Primo_inicial12 – Primo_inicial2)/2 = Primo_final {Fórmula final}


Por desgracia, pronto nos damos cuenta de que la expresión se cumple tanto para un cuadrado de primo como para cualquier otro cuadrado de número impar. Está más que claro que los números primos nunca son tan fáciles de domar. “Conociéndolos” no es difícil asegurar que una expresión tan sencilla, utilizada como generadora, no cabe en su alma indómita.

Conjetura de Goldbach

En realidad la expresión no es otra que la llamada conjetura débil de Goldbach: “Todo número impar mayor de 5 se puede escribir como suma de tres números primos”. Pues:
 Primo_inicial1 2 = Número_impar = Primo_inicial2 + 2xPrimo_final 


Por otra parte, la llamada conjetura fuerte de Goldbach dice:” Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos primos”. Enunciado terriblemente sencillo, y diabólico por la extrema dificultad que entraña probar su veracidad.


“En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos  más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H. Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhage1 comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas” (Wikipedia).


Y para acabar:
Empezando desde el 3 hasta el 127, los 30 casos en que hemos probado la expresión con la {Fórmula inicial}, en  20 ocasiones ha resultado cierta con la resta del 3. En algunos otros casos funcionaba restando el 11 o el 27, por ejemplo, tal como se ha comentado más arriba. En ocasiones se encadenaban varias veces los resultados. Por ejemplo:

(72 -3)/2 = 23 (primo) =>  (232 -3)/2 = 263 (primo) =>  (2632 -3)/2 = 34583 => (345832 -3)/2 = 597 991 943 (primo) ... el siguiente paso ya no da un número primo: 178 797 181 946 457 623, pues sus factores primos son 23*37*3152147*66653759.

El porcentaje de fallos/aciertos de la expresión {Fórmula inicial}, con la resta de 3, en los 30 primeros casos (n=30) es de 1/2. Con n tendiendo a infinito posiblemente el porcentaje tienda a cero, pero corrigiendo el 3 por el 11, el 27 o cualquier otro número primo (como hemos visto en alguno de los casos) el porcentaje será mayor de cero... Como podéis observar cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos.

Los siguientes post  nos  aportan un poco más de información sobre cuerdas y números primos:
  



Un abrazo amigos.




2015/09/30

Los tres primeros minutos del Universo


Este es el título de un clásico de la divulgación científica. El Premio Nobel de Física de 1979 y profesor de la Universidad de Harvard Steven Weinberg nos explica en unos cuantos "fotogramas" la evolución de los tres primeros minutos del universo, previa introducción sobre la expansión del universo y sobre el fondo de radiación. Sus conocimientos sobre el microcosmos, sobre las partículas más pequeñas que forman la materia, nos abren las puertas a un espectáculo grandioso y único. Admite que no se puede empezar la "película" en el tiempo cero y con temperatura infinita, pero las cosas parecen bastante claras ya en el:

Primer fotograma: Cuando apenas ha transcurrido una centésima de segundo y la temperatura se ha enfriado hasta unos cien mil millones de grados Kelvin o absolutos ( el cero está sobre los -273 ºC), el universo está lleno de una sopa indiferenciada de materia y radiación, en estado de casi perfecto equilibrio térmico. Las partículas que más abundan son el electrón y su antipartícula, el positrón, fotones, neutrinos y antineutrinos. El universo es tan denso que incluso los huidizos neutrinos, que apenas interactúan con la materia, se mantienen en equilibrio térmico con el resto de la materia y radiación debido a sus rápidas colisiones. La densidad de la masa-energía en ese momento es del orden de 3,8 mil millones de veces la densidad del agua en condiciones terrestres normales. El tiempo característico de expansión del universo es de 0,02 segundos y el número de partículas nucleares (protones y neutrones) es del orden de un nucleón por 1000 millones de fotones, electrones o neutrinos. Las reacciones más importantes son: (a)Un antineutrino más un protón dan un positrón más un neutrón y viceversa.(b) Un neutrino más un neutrón dan un electrón más un protón y a la inversa.

Segundo fotograma: La temperatura ahora es de 30.000 millones de grados Kelvin y desde el primer fotograma han pasado 0,11 segundos. Nada ha cambiado cualitativamente, aunque la densidad de la energía ha disminuido con la cuarta potencia de la temperatura y el ritmo de expansión ha disminuido con su cuadrado. El tiempo característico de expansión es ahora de 0,2 segundos y las partículas nucleares todavía no se hallan ligadas a núcleos, aunque con la caída de la temperatura es ahora más fácil que los neutrones, más pesados, se conviertan en protones que al revés. Su balance es del 38% de neutrones por el 62% de protones.

Tercer fotograma: La temperatura del universo es de 10.000 millones de grados Kelvin. desde el primer fotograma han pasado 1,09 segundos y la densidad y la temperatura han aumentado el tiempo libre medio de los neutrinos y antineutrinos que empiezan a desacoplarse de la radiación, electrones y positrones y a comportarse como partículas libres. La densidad total de la energía es menor que en el fotograma anterior en la cuarta potencia de la razón de las temperaturas, por lo que viene a ser unas 380.000 veces mayor que la del agua. El tiempo característico de expansión es ahora de unos 2 segundos y los positrones y electrones comienzan a aniquilarse con mayor rapidez de la que pueden ser recreados a partir de la radiación. Todavía no se pueden formar núcleos estables, y la proporción neutrón-protón es ahora 24-76 %.

Cuarto fotograma: La temperatura es ahora de 3.000 millones de grados Kelvin, han pasado 13,82 segundos del primer fotograma y los electrones y positrones empiezan a desaparecer como componentes destacados del universo. El universo está lo bastante frío para que se formen diversos núcleos estables, como el helio común formado por dos protones y dos neutrones (He4). Los neutrones aún se convierten en protones, aunque más lentamente. La proporción de nucleones es ahora del 17% de nuetrones y del 83% de protones.

Quinto fotograma: La temperatura es de 1.000 millones de grados, sólo 70 veces más caliente que el Sol.Desde la primera imagen han pasado tres minutos y dos segundos. Los electrones y positrones han desaparecido, en su mayor parte, y los principales componentes del universo son ahora fotones, neutrinos y antineutrinos. Ahora el universo está lo suficientemente frío para que se mantengan unidos los núcleos del tritio y helio tres, así como los del helio ordinario, pero no se pueden formar, todavía, cantidades apreciables de núcleos más pesados. El balance neutrón-protón es ahora del 14-86 %.

Un poco más tarde: A los tres minutos y cuarenta y seis segundos del primer fotograma, la temperatura es de 900 millones de grados Kelvin y comienza la nucleosíntesis, la proporción en peso de helio es ya el doble de la proporción de neutrones entre las partículas nucleares, es decir del orden del 26%. A los 34 minutos y cuarenta segundos del primer fotograma (300 millones de grados) los procesos nucleares se han detenido y las partículas nucleares están ahora en su mayoría ligadas a núcleos de helio o son protones libres. hay un electrón por cada protón libre o ligado, pero la temperatura es todavía alta para que formen átomos estables.

Durante 700.000 años más el universo seguirá expandiendose y enfriándose, pero no ocurrirá nada de interés.Después podrán formarse núcleos y átomos estables y la falta de electrones libres hará que el contenido del universo sea transparente a la radiación. El desacoplamento de la materia y la radiación permitirá a la materia comenzar a crear galaxias y estrellas."Después de otros 10.000 millones de años, aproximadamente, los seres vivos comenzarán a reconstruir esta historia".El primer fotograma podría resumirse como:" Al principio fue la luz". La radiación (luz) y la materia en equilibrio térmico y estado indiferenciado. Es la impresión más fuerte que guardo de cuando leí el libro la primera vez.

Libro:
"Los tres primeros minutos del universo". Steven Weinberg. Madrid 1980. Alianza Universidad. 
Nota: La segunda figura es el mapa de las anisotropías del fondo de radiación cósmica.

Reedición de uno de mis post clásicos. Un saludo amigos!!!