2016/11/18

Nota al margen: Historia, dignidad y efecto mariposa

Estamos atravesando una grave crisis mundial de la que nadie está seguro cómo saldremos. Se analizan cifras macroeconómicas y se diseñan planes para estabilizar el sistema, pero nada funcionará si no se tiene en cuenta el principal factor que subyace en toda crisis de un sistema: el factor humano, un factor a la vez estabilizante y desestabilizador.
Lo asombroso de la historia
Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo.

Efecto mariposa
En física existen unos sistemas que son sumamente sensibles a las condiciones iniciales. Por muy bien que se conozcan las variables que van a influir en su desarrollo, por muy sofisticados que lleguen a ser los instrumentos que las midan, siempre habrá una mínima incertidumbre que influirá, decisívamente, en el desarrollo posterior del sistema. Una mínima causa será capaz de desencadenar grandes consecuencias. Ese efecto es conocido, popularmente, con el nombre de “efecto de la mariposa”. De forma exagerada, pero muy gráfica, se explica que el simple vuelo de una mariposa, en África, puede desencadenar, con el tiempo, un huracán en China. El primero de esos sistemas que se estudió, allá por los años sesenta, fue el tiempo metereológico.

Efecto mariposa e historia
Desde el primer momento, en que tuve conocimiento de este curioso tipo de sistemas físicos, me recordó al propio devenir de la historia. Conocemos miles de pequeñas anécdotas que influyeron, decisivamente, en el posterior desarrollo de acontecimientos sumamente importantes. Cualquiera de esas minúsculas causas, al desarrollarse de modo distinto, habría cambiado el destino de cualquier país o del mundo. La historia ha transcurrido, durante miles de años, cuajada de millones de acontecimientos de mayor o menor significado, entrelazados de forma aleatoria o no. En muchos sentidos, podría ser considerada como un sistema “muy sensible a las condiciones iniciales”, un sistema no lineal y con infinidad de realimentaciones. Afortunadamente, los manipuladores que intentan, e intentarán, cambiar el destino de las naciones, difícilmente, podrán tener en cuenta todas las variables necesarias para conseguir su propósito. A muy corto plazo puede que sus cálculos sean correctos, pero a medio y largo plazo se equivocarán. Los pequeños errores de cálculo, conforme se desarrollan los acontecimientos, van teniendo mayor influencia en los resultados hasta llegar a desfigurarlos. Las actuaciones bienintencionadas se toparán, en principio, con los mismos inconvenientes ante el efecto multiplicador de los pequeños errores de cálculo sobre el sistema. Más ahora, que el efecto de la globalización trasforma al mundo en un sistema más sensible e inestable.

¿ Dignidad y estabilidad?
Aparte del factor puramente “físico”, de la incertidumbre, hay un elemento capital, en el desarrollo histórico, que el manipulador tiende a olvidar y que se alía con el “efecto de la mariposa” para desbaratar sus planes. Puede parecer poco científico, incluso irreal, pero, lejos de eso, obedece a una realidad constatable y sólida, y es un elemento esencial del factor humano: la dignidad humana. No actúa como motor de la historia sino más bien como “encauzador” del verdadero motor. Éste, por cierto, no es ajeno al egoísmo en sus más diversas formas, perversas en mayor o menor medida.
El poder egoísta tiende a pisarlo todo, sin ningún tipo de consideración. Es un elemento motriz burdo, como una tormenta. Pero a diferencia de la tormenta que actúa sin cortapisas, obedeciendo a leyes físicas y a condicionamientos puramente mecánicos, el poder siempre tiene enfrente a la dignidad de la persona. La pisará una y mil veces, la despreciará, pero al final la encontrará cara a cara, haciéndole frente, en el germen de toda revolución o cambio necesario. Y será capaz de reconducir la propia corriente de la historia. Esa es la diferencia entre los sistemas físicos, caóticos en el sentido en que pueden seguir muy distintas trayectorias de futuro, igualmente válidas, y el “sistema sensible” de la historia cuya única trayectoria final estable, después de cualquier cambio caótico, pasa por el respeto a la dignidad humana. El sentimiento que hace sentirnos únicos, diferentes, con un valor intrínseco, como centro que somos del mundo que percibimos, de nuestro mundo. Es un sentimiento universal y nace de la propia conciencia de ser.

Todos los amantes de la física y de la justicia podemos congratularnos de que un efecto físico “amigo” sea aliado de la justicia social contra los cálculos egoístas del poder. Esos cálculos, organizados por el más potente de los ordenadores que pueda existir en el futuro, son incapaces de recoger toda la información, potencialmente necesaria e influyente, en sus más pequeños detalles. Un simple vuelo, no previsto, no calculado, de una insignificante mariposa podrá desbaratar los planes más perfectos y meditados. Ese simple vuelo será también capaz de desbaratar los planes bienintencionados que traten de controlar cualquier crisis si no cuentan con el factor de estabilización que introduce, en infinidad de puntos inestables, el respeto a la dignidad personal.

Post sacado de mi colaboración con Libro de notas, Ciencias y letras.

2016/09/26

Fractales, física clásica y nuevas teorías (II)


¿La energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tiene estructura prefractal? (**Nota**)
Detrás de esta sencilla hipótesis quizás podamos encontrar seis dimensiones compactadas y el origen de la energía oscura.

Como se comentaba en la anterior entrada, en la naturaleza observamos una geometría diferente a la euclidea, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal. Aunque en ella, lógicamente, el fractal puramente matemático no se puede dar pues su estructura no se puede repetir en un número infinito de escalas. Por esa razón se llama prefractal, es decir fractal en un número finito de escalas.


Concepto de estructura fractal
Fractal natural (prefractal)
Con los fractales, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.
Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

La curva de Koch
Los fractales  más sencillos, como la curva de Koch, nos enseñan lo fundamental de su esencia. En este  caso su característica más importante, su dimensión fractal, resulta de una relación entre dos cantidades escalares. En cada nueva iteración un segmento de medida tres es sustituido por otros cuatro segmentos de medida la unidad, tal como aparece en la figura. La relación (log 4)/(log 3) = 1,261859 … nos da la dimensión fractal de esa curva y determina su forma a todas las escalas.




En el vacío, la existencia del cuanto de acción, que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas, obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal (prefractal), lejos de la continuidad clásica (Esta es una hipótesis de la que se parte: Estructura fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío. El planteamiento es mucho más particular que el que representa la relatividad de escala de Laurent Nóttale). Hasta el punto de que las trayectorias de las partículas, electrones, protones, átomos, etc, ha dejado de ser una verdadera trayectoria para convertirse en curvas fractales de dimensión 2 (Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2). Por  ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.




Energía del vacío y curva de Koch
Las fluctuaciones cuánticas de energía del vacío no son simples variaciones sobre un fondo absoluto y estático, determinan la propia geometría del espacio, por lo que analizando su estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal que determinan. La forma en que se puede proceder a analizarlas es idéntica a como se determina la dimensión fractal de una costa o cualquier figura fractal sencilla como la curva de Koch. La pauta que nos guía, en nuestro caso, es la variación de la energía virtual de las fluctuaciones con la distancia. Desde distancias astronómicas hasta la longitud de Planck la energía asociada está siempre en proporción inversa a dicha distancia: si para una distancia D se le asocia una energía E, para una distancia 2D se le asocia una energía E/2.





En las curvas fractales analizamos la relación existente entre los segmentos característicos (escalares) que definen su construcción, en el vacío cuántico debemos tomar una relación entre dos magnitudes escalares capaces de definir la forma del espacio. Esas magnitudes que varían con la escala son los diferentes valores que toma la energía del vacío según como se mida. En la curva de Koch encontrábamos un valor 3 si mediamos la distancia AE en una dimensión (línea recta) y otro valor 4 si la mediamos en dos dimensiones, ABCDE.





Suponiendo una hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío

Podríamos tener algo similar:

Entre dos puntos arbitrarios A y E, en tres dimensiones, la energía de las fluctuaciones tendría un valor relacionado con el inverso de la distancia, entre dichos puntos. En nueve dimensiones (propuesta teoría de cuerdas) su valor estaría relacionado en proporción directa a la distancia (lo que se corresponde con el valor encontrado para la densidad de la energía oscura).





(Para seguir paso a paso el desarrollo de la hipótesis, sin hacer demasiado pesado el post, se puede visitar la página Mi_ciencia_abierta y de forma más sencilla el artículo de la revista Elementos, de la Universidad de Puebla, El sorprendente vacío cuántico)






Gravedad cuántica de bucles
Generalizando los resultados obtenidos, en base a ciertas aproximaciones y a las hipótesis de las que se parte, se puede llegar a los siguientes resultados:


A pesar de lo intrincadas e irregulares que son las fluctuaciones cuánticas su dependencia con el inverso de la distancia permite al vacío cuántico que se nos presente de forma, prácticamente, similar al vacío clásico a pesar de las tremendas energías a las que se encuentra asociado. En este efecto tuvo mucho que ver la particular geometría que, hipotéticamente,  adoptó nuestro Universo: 3 dimensiones espaciales ordinarias y 6 compactadas. Esta geometría y la propia naturaleza del cuanto de acción están íntimamente ligadas. Con otra geometría diferente las reglas de la mecánica cuántica en nuestro universo serían completamente diferentes.



La estabilidad del espacio-tiempo, de la materia y de la energía tal como los conocemos sería imposible y, a la postre, tampoco sería posible la belleza que esta estabilidad posibilita así como la propia inteligencia y armonía que, en cierta forma, subyace en todo el Universo.





En cierta forma, la malla que constituye el espacio-tiempo que supone la teoría llamada gravedad cuántica de bucles, en primera aproximación, estaría conformada por la energía de las fluctuaciones. Las nueve dimensiones espaciales de la teoría de cuerdas, admitiendo la hipótesis fractal de las fluctuaciones, configurarían esa dualidad de energías del vacío: en nuestro mundo tridimensional la energía del vacío depende del inverso de la distancia, en las nueve dimensiones (seis de ellas compactadas) daría lo que llamamos energía oscura, capaz de acelerar la expansión del universo.








(**Nota**) Un fractal matemático observa la misma estructura en infinitas escalas. En la naturaleza no se puede hablar de auto semejanza en infinitas escalas por lo que en lugar de  fractal se utiliza el término prefractal. En el caso de la energía cuántica del vacío estaríamos hablando de más de 50 órdenes de magnitud en el recorrido de las escalas, lo que supone un caso extraordinario en la naturaleza.

2016/09/14

Fractales, física clásica y nuevas teorías (I)


Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.

Mandelbrot, 1982, de su libro Introduction to The Fractal Geometry of Nature


Cristales de hielo de naturaleza prefractal
En la naturaleza que observamos a nuestro alrededor no solemos ver nada parecido a un cuadrado, a una esfera o a una línea recta. La geometría que nos ensañaron en la escuela en base a líneas rectas y figuras geométricas regulares sólo la encontramos en la realidad artificial que nos hemos construido y a pesar de eso, y gracias a la influencia que ha tenido en la educación su enseñanza desde Euclides, hemos creído en su existencia en un mundo ideal del que este sería una burda copia. En la naturaleza observamos una geometría diferente, mucho más cercana a la que el matemático Benoît Mandelbrot llamó geometría fractal.



En la física clásica, la que conocíamos hasta los comienzos del siglo XX, ocurría algo similar hasta que apareció la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad. La referencia inamovible del absoluto que suponía el espacio y el tiempo de la mecánica newtoniana desapareció, primero con la relatividad especial y después con la relatividad general. Previamente, en el campo matemático se desarrollaron geometrías no euclidianas durante el siglo XIX, por Gauss, Riemann o Lobachevsky, entre otros, cuya ayuda fue crucial para el desarrollo de las nuevas teorías físicas.



Geometría euclidiana y no euclidiana
Tenemos dos teorías soberbias sobre la realidad, la mecánica cuántica y la teoría de relatividad general. La mecánica cuántica es capaz de integrar tres de las cuatro fuerzas fundamentales que existen (electromagnetismo, nuclear fuerte y nuclear débil) y describir perfectamente la naturaleza microscópica de la materia, pero no la gravedad. Para explicar la gravedad en su menor detalle y los fenómenos de magnitud cósmica tenemos la relatividad general. Lo “bonito” sería una sola teoría para explicar las cuatro fuerzas fundamentales, lo que se suele llamar una teoría del todo, pero lo trágico es que no tenemos forma, hasta el momento, de conseguir esa belleza.



En este punto, alrededor de los años 80 del siglo XX, apareció la teoría de cuerdas  que propone que las partículas materiales aparentemente puntuales son en realidad estados de vibración  de un objeto más básico llamado cuerda. El gravitón, o partícula que expresa la fuerza de la gravedad, sería una cuerda vibrante cerrada, un bosón de spin 2. Pero uno de los principales problemas de esta teoría es que los modos de vibración de las cuerdas necesitan 9 dimensiones espaciales y una temporal, dimensiones que desde luego no observamos y que se supone están compactadas en un espacio diminuto del orden de la longitud de Planck. Después de unos 30 años esta teoría se resiste a ser demostrada y no ha predicho ningún efecto comprobable mediante experimento.


Teoría de cuerdas

Por la misma época que la teoría de cuerdas surgió una teoría llamada gravedad cuántica de bucles  (LQG, por Loop Quantum Gravity), supone que el espacio no es continuo sino que consta de una serie de pedacitos indivisibles de espacio-tiempo del tamaño de la longitud de Planck. Wikipedia:Estos átomos del espacio-tiempo forman una malla densa en cambio incesante que, en condiciones normales, nunca apreciaremos, pues el espaciado dentro de la malla es tan pequeño que nos parece ser un continuo. La LQG define el espacio-tiempo como una red de enlaces abstractos que conecta estos volúmenes de espacio.



Esta teoría, lejos todavía de ser una teoría completa, ha tenido muchos menos seguidores que la teoría de cuerdas, pero ha conseguido importantes éxitos en el estudio de los agujeros negros y evita singularidades al tratar de aplicar la relatividad general al Big Bang.








2016/08/15

Sobre lo clásico y lo cuántico


En la vida como en el mundo del conocimiento necesitamos un grado mínimo de estabilidad y certeza. Esa tendencia natural ha llevado a tratar de perpetuar lo establecido tanto en las costumbres como en el saber, pero, nos guste o no, el propio cambio es inherente en el proceso de la vida y en el del conocimiento. En el post sobre la geometría clásica euclidiana se comentaba esa resistencia al cambio que llevó a la Iglesia a considerar el saber clásico como saber divino tendiendo, por ello, a perpetuarlo como inmutable. Al final del siglo XIX los físicos se encontraban muy satisfechos con los importantes avances conseguidos hasta entonces, y muchos de ellos creían que se había llegado a una especie de final definitivo del conocimiento físico del mundo. Sin embargo, en apenas cinco años cambió todo con la teoría de la relatividad y el nacimiento de la mecánica cuántica.


Desde las certezas que parecía darnos la mecánica clásica de Newton sobre la posición, trayectoria y velocidad de cualquier partícula microscópica o cuerpo celeste se nos echaba en brazos de la indeterminación cuántica. Ya no podía conocerse simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula con la infinita exactitud que se suponía, y el principio de indeterminación de Heisenberg parecía habernos desterrado del paraíso de las certidumbres clásicas. Pero ese paraíso nunca existió en realidad, desde un punto de vista puramente clásico se puede demostrar que la predictibilidad que se suponía a los sistemas clásicos nunca fue esencialmente cierta. Independientemente de la precisión con que conozcamos el estado inicial de un sistema clásico (no cuántico) las imprecisiones tienden a crecer, de forma natural, con el tiempo y nuestra información inicial puede llegar a ser inútil para predecir su evolución futura. La mecánica clásica no es tan predecible como podría parecer a primera vista. Esta impredecibilidad se advierte claramente en el llamado problema de los tres cuerpos y se acentúa de forma dramática en los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales (caóticos).

Imagen ilustrativa de la dualidad onda-partícula.

La estabilidad y cohesión que advertimos en la materia es resultado directo de fenómenos cuánticos, no podría conseguirse con las leyes de la mecánica clásica, que funcionan bien con la simplificación que supone tratar cuerpos compuestos por millones de partículas como si fueran puntuales. Esto es consecuencia de una propiedad esencial de los sistemas clásicos puesta de manifiesto por un hermoso teorema debido al matemático francés Joseph Liouville . El aparentemente simple equilibrio que se mantiene en un átomo entre los electrones y el núcleo sólo la mecánica cuántica es capaz de explicarlo, para la mecánica clásica el resultado sería catastrófico pues sus leyes lo impedirían.


La indeterminación cuántica y el sorprendente vacío cuántico, animado por un frenético baile de fluctuaciones y partículas virtuales, pueden explicarnos desde el propio nacimiento de todo el inmenso Universo a partir de la nada a los mecanismos básicos de la consciencia. Cuando pienso en el paso del viejo mundo de la mecánica clásica al nuevo de la mecánica cuántica, me viene a la memoria el cuento de la princesa desterrada del mundo de las hadas que apareció en el mundo real. Le costó entenderlo, pero cuando lo hizo se dio cuenta de que las simplezas de su viejo mundo eran completamente irreales y ya no podían llenar su vida.


El mundo de la imaginación, de los cuentos y las hadas, surge de las idealizaciones de nuestro mundo real. De forma parecida podría emerger lo clásico desde la realidad cuántica, una realidad directamente incomprensible para el sentido común que debe convertirse en clásica para que nuestra vida tenga sentido. El proceso es todavía desconocido, es una especie de paso mágico desde la coherencia cuántica, no local e indiferenciada, a la concreción que advierten nuestros sentidos. El desarrollo de la mecánica cuántica cuyo futuro está irremediablemente unido al de la relatividad general promete mostrarnos una realidad todavía más sorprendente.

He recuperado este post de mi colaboración con Libro de Notas, mis agradecimientos a Microsiervos que tuvieron el detalle de reseñarlo en su día. Unas felices vacaciones amigos.

2016/07/24

Más allá de los agujeros negros


Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo. 

El físico hindú Abhay Ashtekar en 1986 reformuló de modo revolucionario la teoría general de la relatividad, sin introducir información adicional, mediante la mera reescritura de la teoría de Einstein según un nuevo conjunto de variables demostró que se podía derivar, con precisión, lo que es un espacio cuántico. Había nacido la llamada gravedad cuántica de bucles. Consiste en describir un campo haciendo referencia a sus líneas de campo, en ausencia de materia las líneas de campo pueden cerrarse sobre sí mismas formando un bucle. Mientras la teoría de cuerdas consiste en el desarrollo de este concepto en un contexto de fondo fijo de espacio y tiempo, la gravedad cuántica desarrolla una teoría totalmente independiente del fondo, pues las propias líneas del campo describen la geometría del espacio, la forma de secuencias cambiantes que va adoptando. Una vez que las líneas se transforman en mecánico-cuánticas ya no queda ninguna geometría clásica de fondo, la geometría cuántica resultante consiste en un cierto tipo de gráfico que evoluciona mediante cambios locales en su estructura.

El mayor desafío es explicar a partir de ideas tan abstractas cómo emerge el espacio-tiempo clásico. En los últimos años gracias a nuevos procedimientos de aproximación se ha demostrado que la teoría tiene estados cuánticos que describen universos donde la geometría, en una aproximación correcta, es clásica. Recientemente, también se ha descubierto que la gravedad cuántica de bucles predice que dos masas se atraerán la una a la otra exactamente del modo que especifica la ley de Newton.


Mediante la gravedad cuántica de bucles se ha podido ir más allá en los agujeros negros de lo que se ha llegado en otras teorías físicas. Proporciona cálculos que prueban que las singularidades en el interior de los agujeros negros se eliminan. El tiempo puede continuar más allá del punto en el que la relatividad general clásica predijo que debía terminar y parece que se dirige a unas regiones recién creadas del espacio-tiempo. La singularidad es sustituida por lo que se llama "salto del espacio-tiempo". Justo antes del salto se expande hacia el interior de una nueva región que antes no existía (agujeros blancos, tal como conjeturó John Archibald Wheeler).Aplicando cálculos similares al Universo primitivo se han encontrado pruebas de que la singularidad es eliminada antes del Big Bang, lo que significaría que el Universo ya existía antes. Por otra parte, la eliminación de la singularidad ofrece una respuesta natural a la paradoja de la pérdida de información en un agujero negro planteada por Hawking, la información no se pierde, sino que se traslada a una nueva región del espacio-tiempo.


Lo más importante de esta teoría es que es capaz de producir previsiones de observaciones reales que serán confirmadas o no por experimentos, como ha sucedido con la física desde siempre. Es la forma natural de avanzar paso a paso, pisando despacio pero firme para avanzar en la dirección correcta. En este sentido hace poco se han hecho predicciones precisas en relación con los efectos de la gravedad cuántica que podrían ser vistos en observaciones futuras del fondo cósmico de microondas.
(Reedición de un antiguo post, iré añadiendo algunas novedades: Otro enfoque sobre un espacio cuántico, más sencillo, puede ser el determinado por las propias fluctuaciones cuánticas del vacío -->Las fluctuaciones de energía determinan la propia geometría del espacio. No
son simples variaciones sobre un fondo fijo y estable, por lo que analizando su
estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal
que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la
causa directa de la desaparición del concepto clásico de trayectoria continua en
el vacío. Por otra parte su estructura es auto semejante a cualquier escala --->Seguir leyendo

Feliz verano amigos !!!

2016/07/15

Polvo fractal con dimensión entera


La existencia del cuanto de acción ha destruido por completo la propia noción de trayectoria clásica.

Laurent Nóttale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos, y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

En algunos foros he leído que no se entendía bien lo de la dimensión fractal entera, en este caso 2, pero tal como indicaba en la expresión general de la dimensión fractal:
Dimensión fractal = dimensión topológica + factor dimensional

(El factor dimensional, siempre positivo, es tanto mayor cuanto más irregular es el fractal: indica la capacidad de ocupar más espacio del que indica su propia dimensión topológica)

Si el factor dimensional es entero, también lo será la dimensión fractal. Eso es lo que ocurre con las trayectorias virtuales en mecánica cuántica y también en una serie de fractales típicos, como puede ser el fractal del movimiento browniano en un plano (dimensión fractal 2)  o la curva de Peano (dimensión fractal 2) que tiene más de 100 años de existencia.


Si una curva clásica tiene dimensión topológica 1, cuando hablamos de curvas fractales con una dimensión  entre 1 y 2 estamos indicando que son capaces de ocupar parte del plano. Y es precisamente esa capacidad la que viene expresada por el factor dimensional.  En el caso de la curva de Peano o del movimiento browniano, en el límite, ocupan todo el plano, de ahí que su dimensión fractal sea 2 , la propia dimensión del plano.



Como ejemplo, todavía más llamativo, observamos en la figura un fractal clásico  (el primero que se conoce), el polvo de Cantorque toma toma su nombre de Georg  Cantor  que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo.





A partir de una recta se le van quitando los segmentos centrales hasta conseguir una serie infinita de puntos aislados, de ahí el nombre de polvo. Si restablecemos de forma escalonada  el segmento que antes le quitábamos, el nuevo fractal sigue  teniendo estructura quebrada y autosemejante , pero ahora en lugar de tener una dimensión fractal igual a log 2/ log 3 tiene una dimensión entera: log 3/ log 3 =1. Nos ayuda, también,  a entender como se calcula, de forma práctica, la dimensión fractal de una figura.



Esta otra figura es una síntesis de dos de los fractales clásicos, Koch  y  Cantor, y nos ayuda de forma intuitiva a entender el cálculo de su dimensión fractal. En la figura original de Koch, sobre los segmento A1-B1-D1-E1 se construye  la figura que forman los segmentosA-B-C-D-E. Su dimensión fractal es  log 4/ log 3  ( cuatro segmentos sobre tres). En la nueva construcción se ha sustraido 1/4 de cada uno de los segmentos superiores para dejar 4 segmentos de longitud 3/4: al final son 3 sobre 3 (log 3/ log 3 = 1).

Se pueden construir infinidad de fractales con dimensión entera y, precisamente, esa irregularidad que representa una dimensión fractal entera en un fractal creo que nos ayuda a entendelos mejor.

NOTA: Este post se publicó también en la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile, en el número 31, sección de Educación, artículo nº 14 de dicha sección. Allí se añadió una parte más sobre la llamada dimensión de Hausdorff-Besicovitch:


En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión”. En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud_línea = N(+1). Un cuadrado con lado N queda recubierto por N2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie_cuadrado = (N)(+2). Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para
recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño ND veces (en estos ejemplos de magnitud unidad). En general, el exponente D , generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990, describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local
como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y
posiblemente de carácter recursivo.

En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.

Cuando observamos un fractal, de hecho, apreciamos algo que nos es familiar, más cercano que las perfectas figuras geométricas clásicas que nos han enseñado en el colegio.

Las ramificaciones de los árboles, las roturas imperfectas de una montaña o una costa, la disposición de la máxima superficie en un mínimo espacio de nuestro tejido pulmonar...

Los fractales nos acercan a la compleja "simplicidad" de la Naturaleza.


Reedición de uno de mis post clásicos. Feliz verano amigos!

2016/06/30

Algunas notas, casi al azar, sobre gravitación cuántica y agujeros negros


Sobre espacio-tiempo y paradigma holográfico:
Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.
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Extraña luz de agujero negro:
Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .

La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

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Dragones alados y agujeros negros:
Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que son los agujeros negros, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.



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Antes del Big Bang, la espuma cuántica:

La mecánica cuántica nos prepara en cierta forma la mente para imaginar la creación del Universo a partir de una nada cuajada de fluctuaciones cuánticas pre-espaciotemporales. Ya en el Universo actual nos enseña que el vacío es un verdadero hervidero de creación y aniquilación de partículas virtuales que, a distancias del orden de Planck, se convierte en la llamada "espuma" cuántica del espacio-tiempo. En ella nada de lo que conocemos y nos es familiar cuenta pues entramos en los dominios de la desconocida, hasta ahora, gravedad cuántica.
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Radiación de Hawking:
Conforme más sabemos de estas exóticas criaturas estelares, más nos sorprenden. Hemos descubierto que emiten radiación (llamada de Hawking) y no son tan negros como nos los pintaban; que el área de su horizonte de sucesos nos mide toda su entropía y nos delata la magnitud del desorden exterior que ha devorado, y que mueren en medio de un estallido de energía brutal. Parecía que nos lo querían esconder todo, y, sin embargo, nos cuentan cosas que sin ellos nunca habríamos sabido sobre el propio nacimiento del Universo y de su final, pues sus propiedades llevan años alumbrando la dirección que debemos tomar para descubrir la futura teoría de la gravedad cuántica: la llave del pasado y del futuro del Universo.

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Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas:
Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

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Un abrazo amigos.