2008/07/08

Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas

Sobre dos fractales clásicos, la curva de Koch y el polvo de Cantor, y cómo analizando el cálculo de su dimensión fractal somos capaces de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío (hipótesis fractal sobre las mismas).

Siguiendo el post de hace varias semanas sobre "El vacío cuántico, una hipótesis fractal", vamos a calcular el valor de la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío.La generalización del cálculo nos ofrecerá pruebas de que la naturaleza del cuanto de acción, causa de las propias fluctuaciones, puede haber dependido de la geometría adoptada por el Universo, o viceversa. Para ello nos valdremos de dos fractales clásicos, el polvo o conjunto de Cantor y la curva de Koch ambos en la figura anexa donde se explica su construcción. Nos fijaremos en el caso de la curva de Kock: El segmento inicial, de longitud 3, se convierte en los cuatro segmentos de longitud total 4. Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3d . Entonces tenemos 3d = 4 para el copo de Koch, lo que da:
d = log 4 /log 3 = 1,26186...

Para nuestro propósito sobre las fluctuaciones ensayaremos un método general que involucra dos medidas diferentes. En la geometría euclideana no tendría sentido, pero la medida en las estructuras fractales depende de la magnitud de la unidad con la que se haga, de hecho en un fractal puramente matemático la distancia sobre la curva entre dos puntos cercanos tiende a infinito cuando la unidad de medida tiende a cero.

Realizaremos la medida sobre la mínima estructura del fractal, a partir de la cual se define el todo por simples iteraciones.

En la curva de Koch ( primera iteración) medimos la distancia entre los puntos 1-4 con una regla cuya mínima medida sea 3 y obtendremos que dicha distancia es 3 (una sola medida). Si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida 1-4 nos dará ahora como resultado 4 (cuatro medidas). El cociente entre los logaritmos de estos números nos da la dimensión fractal de la curva de Koch ( log 4 / log 3 = 1,26186.. ).

En el caso del conjunto de Cantor
, las medidas involucradas son 3 y 2 (desde 3 segmentos hasta 2, y así en cada iteración) y la dimensión fractal del conjunto será log 2 / log 3. Es evidente que para un segmento lineal continuo encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

Sobre estas premisas trataremos de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas(*** Ver:La cuestión de la medida). Si nos fijamos en la figura anexa observamos que las medidas implicadas en el cálculo deben ser 1/4 y 4, pues partiendo de la distancia A-A1, a la que le asignamos el valor de energía de referencia E0, el valor entre los extremos A-B será 4 E0 para cuatro medidas consecutivas: A-A1 + A1-A2 + A2-A3 + A3-B. O bien E0/4 para una sola medida directa A-B. Aunque hemos tomado n=4 (por trabajar sobre un n concreto) no hay ninguna razón para tomar un valor de n determinado y el cálculo lo haremos general para n y 1/n ( n será natural y finito). Pero nos ocurre como en el caso del conjunto de Cantor. Entonces debíamos comparar 1 con 2/3 que a la hora de manejar logaritmos nos daría resultados absurdos, por lo que realmente hicimos el cambio: (1)---> (3) y (2/3) ---> (2) que nos permite comparar números naturales. En el caso que nos ocupa el cambio será:(1/n)--->(n) y (n)--->(n3) ( para n natural y finito, aunque puede ser arbitrariamente grande). Posteriormente, en un siguiente post, comprobaremos ampliamente la justificación de este cambio. La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas será:

(Dim. topológica energía) x log n3 /log n = (3) x (3) = 9 . --->(*Expresión A*)

Es decir la dimensión topológica de la energía, que es igual a 3, queda multiplicada por el factor 3 que da cuenta de la irregularidad del fractal que representan. En los dos casos de curvas que hemos estudiado anteriormente la dimensión topológica es la unidad, de ahí que por simplificación no aparezca la dimensión topológica multiplicada.

Nos encontramos con un caso similar a lo que ocurre con una trayectoria completamente aleatoria (movimiento browniano de la primera figura). Como simple trayectoria es una línea de dimensión topológica 1, pero debido a sus irregularidades tiene una dimensión fractal 2, lo que nos indica que es capaz de recubrir un plano (dimensión 2). Las fluctuaciones cuánticas que tienen dimensión topológica 3 son capaces de recubrir un espacio de dimensión 9. ¿Por qué dimensión fractal 9? ¿Puede llevarnos la hipótesis fractal de las fluctuaciones a encontrar las 6 dimensiones compactadas de la teoría de supercuerdas?

En un próximo post generalizaremos el cálculo de la dimensión fractal de las fluctuaciones y veremos que nos da una pista sorprendente sobre las posibles dimensiones compactadas.




(***) La cuestión de la medida: En los fractales, debido a su irregularidad en todas las escalas, las medidas entre dos puntos varían según la magnitud de la unidad que se tome. El caso más sencillo y característico es la longitud de una costa. Entre dos puntos podemos encontrar una medida completamente diferente según consideremos la unidad de medida de 2000 metros, 1000 metros ó 500 metros. Conforme ésta unidad sea menor se adaptará mejor a las irregularidades y obtendremos una medida mayor. En el caso de las fluctuaciones cuánticas del vacío, si para una distancia D obtenemos una energía E0, para otra distancia 2D la medida directa sería E0/2 (una sola medida) y, en general, para la distancia nD sería E0/n.


Nota complementaria: 14/07/08.

Sobre el movimiento browniano:

En honor al "ministro iñigo" indico un link de la Wikipedia inglesa en la que puede comprobar lo que yo le indico, y él me niega, sobre la dimensión fractal del movimiento browniano, muy importante para seguir el supuesto de estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas. Un libro clásico sobre el tema, donde también figura este fractal natural y se especifica su dimensión fractal, es el de : K.Falconer "The geometry of fractal sets". Cambridge University Press.

El movimiento aleatorio puro o browniano tiene una dimensión fractal igual a 2, sea la dimensión que sea la del espacio en el que se manifiesta. Lo que confundía a nuestro amigo era suponer que dado que este movimiento es capaz de tomar cualquier dirección en el espacio de 2, 3 ó más dimensiones, también
sería capaz de recubrirlo. En este caso el movimiento browniano tendría un valor diferente según el espacio en el que se desarrollara pero no ocurre así, tal como parece intuirse (a mi también me ocurrió).

Sobre la elección de energía de las fluctuaciones cuánticas como escalar de medida:

A diferencia de otras magnitudes, la energía de las fluctuaciones del vacío no es un escalar cualquiera, representa el propio marco del espacio tiempo en fluctuación y su estudio como fractal nos puede dar más información sobre las posibles dimensiones compactadas, sobre el cuanto (que está en el origen de las propias fluctuaciones) y algún indicio sobre la relación del mismo con las configuraciones del espacio-tiempo (gravedad cuántica).

En la (*Expresión A*) , sobre la dimensión fractal, el cociente de logaritmos siempre será igual a 1 en las estructuras continuas no fractales, las dos medidas de las que hemos hablado coincidirán y por tanto sólo tendremos la dimensión topológica.


A modo de ejemplo:

Vamos a imaginar un sencillo mundo, que llamaremos V, de sólo una dimensión. La principal ley que tendremos en cuenta es la de la constitución más íntima de su espacio unidimensional (ver dibujo y supongamos n=4): para una longitud 7 (equivalente al lado AC) la energía (lineal) de vacío asociada hace que esa longitud se quiebre y se convierta en los lados iguales de un triángulo de longitud 4, cada uno (AB y BC).

Los habitantes de V conocen esa ley porque han observado la influencia de las masas sobre la deformación de su espacio y conocen la energía de vacío, pero desde su perspectiva no necesitan de más dimensiones que una para explicarla y en esa única dimensión está bien definida. La única medida real de longitud en ese mundo unidimensional entre A y C es 8, y la medida de 7 es completamente ficticia. Sin embargo suponiendo una geometría fractal serían capaces de descubrir un mundo bidimensional más amplio que el suyo.

Volviendo a nuestro mundo de tres dimensiones espaciales, la hipótesis fractal sobre las fluctuaciones cuánticas del vacío podría confirmar de forma semejante un mundo de más dimensiones espaciales que las tres conocidas.

13 comentarios:

Anónimo dijo...

Muy bueno!!!, pero me dejaste con la intriga de la explicacion de la ultima cuenta, espero que lo cuentes en tu proxima entrada, ya estas atando todos los cabos sueltos!!!!!, suerte!!!

Jman

Salvador dijo...

Gracias Jman, lo explicaré en "una" próxima entrada. Un saludo

Ministro Iñigo dijo...

Muy interesante, quiero compartir mi opinion sobre algun punto.

1º El movimiento browniano tiene tiene la dimension del espacio en donde se produce el movimiento, porque los grados de liberta de este movimiento coinciden con los grados de libertad del espacio en el que se produce.

2º las fluctuaciones cuanticas tendran como maximo las dimensiones del espacio que es capaz de contenerlas, clasicamente son una funcion en un espacio-tiempo 4D. Luego la dimension fractal de estas fluctuaciones no podria ser mayor que 4D.

3º Me parece que las fluctuaciones cuanticas de vacio no son recursivas para la escala, es decir para cada escala existe una forma unica de construirse la "grafica" que es funcion de la incertidumbre en la energia para esa escala. no existe una convergencia, o "valores que nunca se tocan" para la energia

4º La dimension de las fluctuaciones tendria que ser 4D ya que existe una escala para la cual las fluctuaciones pueden tener cualquier valor.

Esto es lo que opino. Saludos.

Salvador dijo...

Eso es lo primero que pensé, pero no es así. En tres dimensiones,por ejemplo,la dimensión del movimiento browniano sigue siendo también 2.Puedes comprobarlo con una simulación, yo lo he comprobado muchas veces.

Respecto a lo otro: imagina una superficie completamente plana: dimensión topológica=2. Si esa superfice está lo suficientemente arrugada para que ocupe tres dimensiones(dimensión fractal=2+1: una dim. fractal puede ser entera)para unos supuestos habitantes de la superficie, esta tiene dim. 2, pero pueden encontrar algún método que les indique la irregularidad y llegar a la conclusión de que su mundo tiene una dimensión fractal 3 aunque topológica 2.

Las fluct. cuánt. tienen dim. topol. 3 y fractal 9, de la misma forma que el mundo plano que he indicado de dim. fract. 3.



Un saludo.

Ministro Iñigo dijo...

Hola Salvador,

Desconozco como deduces que el movimiento browniano en tres dimensiones tiene la misma dimension que en dos dimensiones. Un movimiento libre en una dimension adicional debe de implicar un grado de libertad adicional y una dimension mayor del movimiento.

Sobre lo del papel arrugado; si el papel esta definido sobre una superficie de K dimensiones, entonces ese objeto no puede extenderse por mas de K dimensiones. Las fluctuaciones cuanticas de vacio como objetos matematicos que son no pueden tener una dimension mayor que el espacio en el que son definidas, es decir dimension 4D. Si la funcion fluctuacion de campo ha sido definida en R^4, la dimension del espacio para una fluctuacion dada sera como mucho 4.

Por ejemplo una montaña nunca puede tener una dimension fractal superior a 3, porque la montaña esta contenida en 3D.

saludos

Salvador dijo...

El movimiento aleatorio al azar tiene la siguiente propiedad en cualquier dimensión: supongamos,para simplificar, que se dan N^2 pasos aleatorios después de un tiempo T, como media sólo nos habremos alejado del punto inicial una distancia N. Tú, de forma intuitiva piensas que en tres dimensiones serán necesarios N^3
pasos para alejarse N efectivos, pero no es así. Ese exponente nos da la dimensión fractal del movimiento y por muchas dimensiones por las que nos movemos siempre tendremos esa relación :N^2 y N. Lo que ocurre es que cuanto mayores sean el número de dimensiones la distancia viene definida por (X1^2+X2^2+ X3^2+ ...Xn^2)^(1/2), n mayor o menor, pero tendremos lo mismo.

Respecto a las fluctuaciones, ocurre lo siguiente: son una estructura de dimensión topológica 3, como una costa fractal es una línea de dimensión topológica 1. La dimensión fractal de la costa es mayor que 1, pero si estuvieramos moviéndonos dentro de la línea nos parecería absurdo pensar en dimensiones superiores, siempre estariamos dentro de una estructura unidimensional.

Si te interesa te sugiero que me escribas al correo electrónico y te daré mayor información sobre los artículos que he escrito sobre todo esto en la revista Elementos de la Universidad de Puebla y la revista Ciencia Abierta de la Universidad de Chile. De todas formas pienso seguir enviando un par de post más con más explicaciones y detalles.

Gracias y un saludo.

Ministro Iñigo dijo...

Segun tu argumentacion el movimiento browniano contenido en una sola direccion (la cuenta de un abaco que se mueve por un alambre), tambien tendria dimension 2. Ademas aplicando el metodo que empleas seria facil diseñar un movimiento que tubiera dimension 50000000 sobre un alambre , ¿tiene el universo 50000000 dimensiones entonces?. Esa forma que empleas para mensurar la dimension fractal distorsiona el significado de dimension, no solo ya como concepto matematico sino como aplicacion al mundo fisico.

El movimiento browniano contiene con una probabilidad distinta de 0 CUALQUIER vector en un n-espacio, luego tiene su misma dimension.

Respecto a la linea, da igual lo que parezca la linea para sus habitantes lo que importa es lo que es y si es una curva de n-dimensiones no puede tener una dimension fractal mayor que n. Las fluctuaciones de campo no son algo que "nos parece que son de tal forma", son algo que sabemos muy bien lo que son porque somos nosotros quienes los hemos definido. Y como los hemos definido en 4D, no pueden tener mas de 4D.

saludos

Salvador dijo...

Ministro inigo, veo que te gusta repicar en esta iglesia. Seguimos con lo mismo: el que un movimiento browniano pueda seguir cualquier dirección en un espacio, por ejemplo, de tres dimensiones no significa que sea capaz de recubrirlo y así mismo ocurre en cualquier dimensión. Sólo si fuera capaz de recubrirlo tendría su dimensión. En el caso del movimiento browniano después de NxN pasos se ha alejado N pasos efectivos ( en tres dimensiones por ejemplo) y eso es así. Para recubrir el espacio debería tener dimensión fractal 3 y no la tiene. En el caso de la cuenta de un ábaco moviéndose de forma aleatoria tendríamos la misma dimensión fractal:2. Pero, lógicamente, existirían infinidad de puntos dobles que haría que la trayectoria que de estar en dos dimensiones recubriera el plano, en este caso quedaría plegada.

Hasta donde yo he explicado esto es lo que puede pasar con las fluctuaciones, posteriormente explicaré si es así o no.

Volviendo otra vez con el mov. brown. en tres dimensiones, por ejemplo, su proyección sí que podría recubrir un plano dentro de las tres dimensiones, pero no las tres dimensiones.

De momento lo que he explicado sólo expresa posibilidad, todavía no he avanzado más. En próximos post seguiré con ello.

Estoy tratando de aplicar la geometría fractal a la energía de las fluctuaciones cuánticas y ver donde me lleva. Sabemos cómo se mueven dentro de un espacio topológico de dimensión tres y también sabemos lo que son, pero la geometría fractal puede que nos ayude a ver de forma diferente realidades ya conocidas y ampliar nuestro conocimiento sobre ellas.

Un saludo ministro iñigo y repica todo lo que quieras en este convento.

Salvador dijo...

ver explicación complementaria al final del post.

Ministro Iñigo dijo...

Aqui estoy de nuevo para mostrar mi simpatia y hacer amigos. Primeramente decir que uno tiene el poder de borrar los comentarios que quiera, a mi se me han borrado 2, pero es algo de mala educacion y ademas no muy cientifico.

Voy a señalar un par de puntos de la nota, como no podia ser de otro modo, asumiendo incluso el riesgo de comportamientos inquisitoriales.

1º Imaginar lo que otros imaginan no es tan sencillo, no es lo fundamental que yo piense que el movimiento browniano tiene los mismos grados de libertad que el espacio que alberga, lo fundamental es que el movimiento browniano es una funcion de probabilidad con valores no nulos en todo el espacio y por algebra elemental tiene la dimension del espacio.

2º Que Falconer señale en un libro que seguro es fantastico que el movimiento browniano tiene dimension 2 es como dicen en las pelis de abogados circustancial. Mira, una linea recta puede ser producto del movimiento browniano y su dimension es 1, esto no es circustancial. Ya dije que para dar la dimension de una linea quebrada hay que definir como se construye.

3º En el ejemplo de la linea que pones tienes que tener en cuenta que si quieres aplicar RG tiene que haber una dimension temporal, luego ese mundo que imaginas no tiene de partida dimension 1, tiene 2. Si no tiene dimension temporal no vale la RG. De todos modos y ahora voy a lo fundamental, intuitivamente has tenido que meterte en un constructo teorioco como la RG para empezar a pensar en mas dimensiones. Esto es lo que deberias comprender, mientras que asumas que estas dentro del marco de la mecanica cuantica tus fluctuaciones y tus historias no podran tener mas dimensiones que las que tiene ese marco. Si quieres que tus 9 dimensiones fractales tengan algun sentido vas a tener que definir las fluctuaciones de campo en un espacio de al menos 9 dimensiones, la vida esta asi de mal.

La gente que hace branas y demas, no se mueven dentro del marco de la MC ni de la RG, se crean un nuevo marco que tiene tropecientas dimensiones y pueden hacer lo que alegremente se les ocurra.

Salvador dijo...

Ministro, sólo te digo que te documentes antes de sentar cátedra.
Y sobre lo de borrar comentarios, he borrado míos y tuyos por salida de tono.
Por otra parte cuando hablo de "hipótesis fractal" (echa un vistazo al post anterior de referencia) ya se supone que se va a ampliar el marco de referencia de las tres dimensiones y algo más. De todas formas con lo que he dicho hasta ahora yo no habría aventurado demasiado, de no ser porque he encontrado más cosas que han ido conectando y haciendo surgir algo completamente nuevo de lo que imaginaba al principio. Sólo espero que me dejes, poco a poco, ir exponiendolo todo.

En este blog trato de exponer a mi manera las teorías de otros, déjame exponer, muy de cuando en cuando, las mías que por otra parte ya figuran en un par de revistas de universidades americanas y previamente has sido evaluadas por otros físicos.

Un saludo.

Ministro Iñigo dijo...

Esta bien.

Saludos

Anónimo dijo...

lo que decis esta relacionado con tu articulo "estabilizacion del vacio cuantico y dimensiones enrrolladas" no?
a lo ultimo dejas la posibilidad implicita de que esa relacion entre la energia de las distancias en el vacio y la unidad de medida se pueda representar con un fractal sencillo como el que mostraste a lo ultimo, puede ser no?, el blog esta muy bueno, siempre nos sorprendes con algo nuevo relacionado con lo anterior, segui asi!!! suerte!!!!

Jman