2010/05/03

Triángulos reales y no-triángulos imaginarios

Recientemente, un lector de cienciasyletras me preguntaba si era posible calcular los ángulos de un triángulo escaleno sabiendo los tres lados. Mi respuesta fue que utilizara el teorema de los senos y que tuviera en cuenta que la suma de los tres ángulos debe ser 180º. Con esto se pueden conseguir dos ecuaciones con dos incógnitas que serán dos de los senos buscados... Pero, inmediatamente, me di cuenta de que había una forma mucho más elegante y rápida (gran lapsus, por mi parte por olvidar el teorema del coseno).


Conforme pensaba en esa solución me iba adentrando en el mundo "imaginario" de los números que tienen como base el valor i (la raíz cuadrada de menos uno). Supongamos un triángulo isósceles (la base diferente y los dos lados iguales) y jugaremos a aumentar y a disminuir los dos lados. Conforme los hacemos más grandes la altura del triángulo va aumentando, y al disminuirlos también disminuye con ellos. En el límite, cuando cada uno de los lados es igual a la mitad de la base ya no tenemos ningún triángulo, la altura es cero.

A partir de ahí entramos en el "mundo" de los números imaginarios. Los resultados ya no pertenecen al conjunto de los números reales, sino al de los imaginarios y por tanto decimos que no existen, que los lados ya no se tocan. Pero conforme siguen menguando los dos lados va aumentando el valor de la altura "imaginaria" de este no-triángulo hasta alcanzar un máximo, igual a la mitad de la base, cuando los dos lados tienden a cero (sin llegar a serlo). Conforme disminuyen los lados del no-triángulo imaginario aumenta la altura del mismo hasta un máximo que no puede sobrepasar.

Esto no deja de ser una curiosidad sin más, pero hipotéticamente podríamos considerarlo como un fenómeno de la realidad por el cual a partir de una distancia arbitraria existen dos brazos, de longitud variable, que intentan tocarse. Suponiendo este fenómento en el ámbito de la mecánica cuántica, las posibilidades tienen una componente imaginaria que no se puede descartar y que contribuye, finalmente, al resultado real. De ser así el extraño "mundo" de los no-triángulos imaginarios puede que nos esté diciendo que ellos son tan reales como los propios triángulos, o al menos su extraño mundo es esencial para que nuestro mundo real sea tan peculiar como nos indica la mecánica cuántica.



Los lados del triángulo real llegan a tocarse y determinan la longitud de la altura, que puede ser arbitrariamente grande, hasta llegar al infinito. Los lados del no-triángulo imaginario, en cambio, sin llegar a tocarse en el mundo real, parecen adivinar la distancia que les separa. Cuando apenas son un infinitésimo en los dos extremos de la base, determinan un no-triángulo con una altura igual a la mitad de la misma base. ¿Es un indicio de las propiedades holísticas que presenta la mecánica cuántica, o del protagonismo que parece tener el "mundo" imaginario en ella?.

Desarrollo (sólo para quien tenga curiosidad):
Si nos fijamos en la figura, hacemos descansar la base del triángulo en el eje de las x . Desde un extremo construimos una circunferencia de radio igual a uno de los lados, y desde el otro extremo otra circunferencia de radio igual al otro lado. Con los valores encontrados de las x e y del punto (y es la altura del triángulo obtenido) podemos calcular fácilmente la tangente de los dos ángulos C y A, y el B será 180º -A - C.




La tangente del ángulo C será el cociente y/x. La tangente del ángulo A será : y/(b-x).

Hasta aquí todo resulta muy normal, pero ¿qué ocurriría si la suma de los dos lados a y c es menor que el valor del lado b, de la base del triángulo? Lógicamente no habría triángulo, pues las dos circunferencias no llegarían a tocarse. ¿Qué resultados obtendríamos al proceder de la forma que lo hemos hecho? Los valores encontrados serían imaginarios, lo que significa que no existen en la realidad, pero sí en el "mundo" de los llamados números imaginarios cuya base es el valor i, correspondiente a la raíz cuadrada del número -1. Sólo en ese "mundo" tendrían sentido, pero eso no nos impide estudiar lo que pasa.

Para simplificar, modificaremos el triángulo. La base será b, pero los dos lados a y c serán iguales y les llamaremos a los dos a. Los resultados serán imaginarios siempre que a sean menores que b/2.

Procediendo de forma similar a como hemos visto encontramos que la altura h del triángulo (el valor de la y) en función del cociente n= b/a será :
y = h = + - b/2n √(4- n2)

La menor altura es cuando el valor de cada uno de los lados a tienden a la mitad de la base. La mayor altura h la tenemos cuando los lados tienden a cero y, por tanto, el valor de n se hace infinito. Entonces la altura será b/2.


Finalmente:
En el "mundo " real conforme los lados se hacen mayores la altura también aumentará tanto cuanto queramos, tendiendo a infinito. Cuando los lados disminuyen irá disminuyendo la altura hasta hacerse cero cuando los lados sean igual a la mitad de la base. Conforme los lados se van haciendo menores que la mitad de la base entramos en otro "mundo", el de los números imaginarios y la altura va aumentando conforme disminuyen los dos lados hasta hacerse máxima, con el valor b/2 ( la mitad de la base) para valores de los dos lados tendiendo a cero. La mayor altura b/2 del no-triángulo se obtiene para una base de valor b y dos lados de valor "prácticamente cero".




9 comentarios:

acertijosypasatiempos dijo...

Gran reflexión...

Brigo dijo...

El comentario es sesudo, pero no veo donde explicas cómo se puede usar para resolver el problema de una forma más elegante, y sobre todo, más rápida que con el teorema de los senos...

vilovi dijo...

Excelente análisis y los profesores de matemática debemos llegar a este nivel de abstracción matemática...

Salvador dijo...

Brigo, lo explico en el apartado "Desarrollo".

Alvaro dijo...

Hola BelloTeorista!
Y que significaría esto?
Yo personalmente estudio ingeniería industrial,asique las matematicas si que han sido una base firme durante mi vida,pero lo m´sa que he tratado los complejos más allá de su algebra y calculos mas sencillos es para resumir los 2 parametros del seno(amplitud y angulo de desfase) en un solo numero complejo, que expresado en polares da esa información de una manera intuitiva y tal...
pero que significan las soluciones complejas que hallamos aqui?
No soy capaz de comprenderlo,asique cualquier pista estaría muy bien.
Gracias!
PrimatoFortunato

Salvador dijo...

Realmente no significan nada. En general, cuando para un problema geométrico sencillo se encuentran soluciones imaginarias significa que no hay solución.Por ejemplo: la parábola x^2-5x+6= y, corta el eje de las x en dos puntos: x=2, x=3 (hay solución). En cambio la parábola x^2+9 =y, no corta el eje x, pues para y=0, tiene dos soluciones imaginarias: +3i, -3i (no hay solución).

Yo, en lugar de decir que no hay solución digo que existe solución en el conjunto de los números imaginarios y juego, un poco, con esas soluciones imaginarias. A los triángulos construidos así les llamo no-triángulos, jugando en cierta forma con el lenguaje del cuento "alicia en el país de las Maravillas".

Un saludo(yo estudié también ingeniería industrial).

Alvaro dijo...

Y si dibujaramos la parabola (x^2+9) en 3D a base de considerar x complejo,si que veriamos el corte en +-3i...me pregunto que pinta tendria esto.
A lo mejor resultaría que si tiene algun sentido oculto =)

Salvador dijo...

La figura que aparece es una doble parábola con vértice en el punto Y=9, del propio eje y, que arranca hacia arriba en el plano x_real/y y hacia abajo en el plano x_imaginario/y. El único punto común entre las dos es el indicado punto del eje y, de valor y=9.

En el plano real no toca el eje x, y en el plano imaginario toca el eje imaginario en +3i, -3i.

Saludos.

Saludos.

Francisco dijo...

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