Diez dimensiones, supercuerdas y fractales

Uno de los post más visitados el año pasado, con casi 6.000 visitas, fue este que vuelvo a publicar. Espero que a los nuevos visitantes os guste y a los más antiguos también. En este post se supone la hipótesis fractal para la energía de las fluctuaciones cuánticas.

Al respecto es importante repasar el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, en 1990. En ella describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Según este concepto, la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío tendría estructura fractal. A continuación seguimos con el post que vuelvo a publicar:


La teoría de supercuerdas predice que la unificación de todas las fuerzas ocurre a la energía de Planck, o 10¹⁶ miles de millones de electronvoltios ( mil billones de veces mayor que las energías de que disponemos en los aceleradores actuales). Esto significa que la verificación experimental de la misma escapa a nuestras posibilidades y a las que nos podría brindar un futuro previsible y supone que la teoría decadimensional ( tres dimensiones ordinarias+ seis compactadas + el tiempo) no es verificable directamente .Sin embargo puede haber alguna forma de verificación indirecta. En muchas universidades los físicos están tratando de diseñar experimentos que nos delaten su presencia, pero es posible que su impronta haya quedado reflejada en la propia naturaleza del cuanto de acción, y las fluctuaciones cuánticas del vacío nos puedan decir algo determinante al respecto.



Benoit Mandelbrot decía que la geometría fractal nos enseña a observar este viejo mundo con unos nuevos ojos. La existencia del cuanto de acción que está íntimamente unida a la propia naturaleza de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío obliga a que su estructura sea discontinua, escalonada, fractal, por ello la geometría fractal puede enseñarnos algo que antes no podíamos ver.

Mandelbrot, se preguntaba cual era la longitud de una costa y observaba que esa longitud dependía de la unidad de medida que se adoptara para medirla. Si la unidad es de 5 km. la longitud nos da un valor, pero si la unidad es de 100 metros nos encontramos con un resultado mucho mayor, y conforme hacemos más pequeña la unidad de medida nos podremos adaptar mejor a las irregularidades y obtendremos un valor aún mayor. En el caso de una costa fractal ideal, podremos disminuir cuanto queramos la unidad de medida y acabaremos obteniendo un valor infinito.

En las fluctuaciones ocurre algo similar, pero nos encontramos que para una determinada distancia D su valor es del orden de E, mientras que para una distancia 4D será del orden de E/4 y así hasta llegar a distancias muy grandes, por ejemplo 10 000 D, en que la energía implicada es muy pequeña, del orden de E/10 000. Es como si al medir la distancia de costa entre Barcelona y Valencia nos encontráramos que es muchísimo menor que la distancia de costa entre nuestros dos pies cuando paseamos por la playa.

La Universidad de Chile (2004), en su revista Ciencia Abierta , me publicó el artículo “ Estabilización del vacío cuántico y dimensiones enrolladas”, ( después otros dos más completos) sobre la posibilidad de que el estudio de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío nos estuviera evidenciando, indirectamente, la existencia de las 6 dimensiones enrolladas que necesita la teoría de supercuerdas. Los cálculos parecen indicar que en el estado en que se adoptó la configuración de 3 dimensiones ordinarias y 6 enrolladas, debió decidirse la propia naturaleza del cuanto de acción.

De ser correctos los resultados significarían una evidencia de la existencia de las 10 dimensiones que necesita la teoría de supercuerdas para ser considerada una realidad plena.

Todo parece formar parte, en cierta manera, de una sola realidad: 10 dimensiones, supercuerdas y fractales.

Galaxia M74, plácida apariencia y turbulenta realidad

M74 es una de las galaxias espirales más llamativas, visible con unos buenos prismáticos en la constelación de Piscis, a unos 30 millones de años luz de la Tierra. No es extraño, pues, que fuera descubierta ya a finales de septiembre de 1780 por los astrónomos franceses Pierre Méchain y su amigo Charles Messier, que la incluyó en el catálogo de objetos extensos que él mismo compilaba en la entrada número 74.

Se trata de una imponente galaxia espiral de las llamadas "de gran diseño", majestuosa y simétrica, con una apariencia plácida que nada tiene que ver con su turbulenta realidad. Brillantes manchas azuladas en los brazos explican la historia de los violentos procesos físicos que forman estrellas a partir de nubes de gas y polvo. Las estrellas de mayor masa (más de diez veces la masa del Sol) acabarán su vida en una explosión de supernova, que lanzará a su alrededor los elementos pesados que la estrella ha creado durante su existencia y explosión final, niquel y hierro, sobretodo, que pasarán a formar parte de una nueva generación de estrellas.

El 29 de enero del 2002 tuvo lugar en M74 una explosión de hipernova, mucho más potente que una supernova, el último grito agonizante de una estrella, en este caso, con 40 veces la masa de nuestro Sol. Estas titánicas explosiones son el sueño de cualquier alquimista: parte de los elementos más ligeros (hidrógeno, helio, carbono) se funden en otros más pesados, a causa del calor y la presión que soportan durante la explosión. Sólo la cantidad de níquel que se produjo constituye más de 20.000 veces la masa de la Tierra. Se formaron también otros elementos pesados, como el oro, la plata, cinc y uranio, elementos que fueron expulsados y repartidos entre el gas y el polvo de M74, y que serán incorporados en la próxima generación de sistemas planetarios, junto con ciertas cantidades de carbono, la base de la vida tal como la conocemos.

M74 es parecida en tamaño a nuestra galaxia, la Vía Láctea, con unos 100.000 años luz de diámetro. La podemos ver prácticamente de cara, lo que nos permite estudiar todos sus detalles en profundidad. Largas bandas de polvo (que aparecen rojizas en la imagen) se entremezclan con los elegantes brazos salpicados por brillantes cúmulos estelares de color azulado. Las manchas rosáceas, a su alrededor, son nubes de hidrógeno donde se forman nuevas estrellas.

Pero M74 no siempre ha tenido este aspecto aristocrático; según las teorías más aceptadas de evolución de las galaxias, comenzó siendo un conjunto de galaxias irregulares más pequeñas que, durante miles de millones de años, se fueron amalgamando para dar como fruto final este bello molinete celeste. La unión de estos objetos irregulares dio origen primeramente al halo de la galaxiia (el conjunto de estrellas y gas que envuelven el disco), donde actualmente encontramos las estrellas más viejas, frías y rojizas, y los cúmulos globulares.

Los brazos espirales aparecieron posteriormente por la presencia de ondas de densidad en el disco. El disco de la galaxia no era perféctamente uniforme, sino que había regiones con más estrellas que otras.Estas estrellas atrajeron con su fuerza de gravedad más material hacia ellas, como otras estrellas y gas, y crearon una región más densa que el resto que conocemos como brazos espirales. Con el tiempo, estas sobredensidades hacen que las estrellas se aceleren hacia ellas y después se vayan frenando a medida que pasan de largo, manteniéndose un tiempo en la región.

Este fenómeno provoca que en los brazos tengan lugar los violentos procesos que llevan al nacimiento de nuevas estrellas: a la sobredensidad llegan nubes de gas que resultan comprimidos hasta el punto de colapsar, o cuando el material choca entre si, de formar también nuevas estrellas. Los brazos son, pues, zonas donde se vive poco tiempo (astronómicamente hablando) pero con mucha intensidad.


En estas galaxias no sólo hay materia visible. Los estudios de la astrónoma Vera Rubin y sus colaboradores a finales de la década de 1960 y principios de los 70 demostraron que la mayoría de las estrellas de las galaxias espirales giran a la misma velocidad alrededor del centro. Esto implica que la densidad de materia de la galaxia es uniforme, más allá de los lugares donde se concentran las estrellas. Rubin demostró con sus observaciones que más del 50% de la materia de las galaxias espirales es oscura, no brilla en ninguna longitud de onda, y su naturaleza es uno de los misterios más enigmáticos que los astrónomos tratan de resolver hoy en día.


Traducción y resumen del artículo "Una majestuosa galàxia espiral" (Revista Mètode, de la Universitat de València, nº 57), de Amelia Ortiz Gil del Observatori Astronòmic de València.

GRID, ATLAS y LHC, mucho más que doce letras

Con una capacidad de transmisión 10.000 veces superior al Internet actual, las redes GRID permitirán el intercambio de información a unos niveles inimaginables que posibilitarán, por ejemplo, descargar una película en cuestión de segundos. Se tratata de un sistema de computación para compartir recursos que se convertirá en el protagonista de la segunda revolución web.


El témino GRID hace referencia a una gran infraestructura que permite, mediante protocolos específicos, utilizar ordenadores, bases de datos y redes que son administradas por diferentes organizaciones. La idea básica de las tecnologías GRID consiste en aprovechar de manera coordinada los recursos de todas las computadoras distribuidas por todo el mundo e integrarlas en un sistema global de cálculo y almacenamiento de datos. Es decir, utilizar las posibilidades que ofrecen los ordenadores no sólo para intercambiar información, sino también para gestionarla y trabajar con ella. La utilización de estas tecnologías propiciará la creación de grupos de trabajo que unirán sus esfuerzos tecnológicos con la intención de crear un superordenador que permitirá el intercambio de información a una escala impensable con las redes actuales de Internet. Una de las primeras áreas que se beneficiará del GRID será la física, pero se prevé que se aplique en todas aquellas disciplinas que necesiten mecanismos de procesamiento y almacenamiento de grandes cantidades de datos, como es el caso de la medicina o la meteorología. Con el tiempo, no es difícil imaginar las posibilidades sociales de las infraestructuras GRID con la capacidad de procesamiento de información del más potente superordenador que haya existido al alcance de un clic desde la propia casa.



En Valencia, el Grupo de Computación GRID del Instituto de Física Corpuscular (Universidad de Valencia + CSIC) colabora activamente en programas internacionales de investigación en este campo. Actualmente colaboran en el proyecto ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS) en España, uno de los cuatro experimentos que se llevarán a término en el acelerador de partículas Large Hadron Collider (LHC) del CERN a partir del próximo septiembre. El objetivo del ATLAS es encontrar las partículas masivas no detectadas todavía y que son necesarias para corroborar el modelo estándar. Una de estas partículas es el bosón de Higgs, la llamada partícula de Dios, que desempeña un papel fundamental en la explicación del origen de la masa del resto de partículas. Para conseguir encontrar esta partícula se realizarán colisiones entre dos haces de protones en unas circunstancias parecidas a las del Big Bang, que aportarán un volumen de datos de 15 millones de gigabytes. Dada la cantidad de información y la rapidez con que se genera, es imposible que el CERN almacene el resultado de todas las colisiones, por lo cual es necesario conservar los datos de manera segura para analizarlos posteriormente. Y ahí es donde entran en funcionamiento las tecnologías GRID.

El Large Hadron Collider, LHC:

El LHC consta de un cilindro de 27 Km de circunferencia, enterrado a 100 metros bajo tierra, a través del cual viajarán dos haces de protones a una velocidad cercana a la luz. Los protones chocarán en cuatro puntos diferentes donde se han instalado unos colisionadores tan grandes como la catedral de Notre Dame. La función de estos es analizar las partículas resultantes de la colisión de dos mil millones de protones en unas condiciones parecidas al Big Bang. En el LHC se espera una producción de 100 colisiones por segundo de 1 MB cada una, que aportarían un volumen de información de 15 millones de gigabytes, el equivalente a 56 millones de CD cada año.

La construcción del LHC ha tenido un coste total de 3.900 millones de euros, y se han involucrado miles de científicos de 50 países de todo el mundo. Después de 19 años de construcción, a partir de septiembre comenzarán a realizarse los cuatro experimentos: CMS, ALICE, LHCb y ATLAS, en el cual participa el IFIC de Valencia junto con 2.100 físicos de 37 países. El principal objetivo del LHC, mediante el experimento ATLAS, es encontrar la partícula masiva nombrada bosón de Higgs.

Mis agradecimientos a la revista Mètode (nº 57) de la Universidad de Valencia.

Un cafe, unas dimensiones extras, las fuerzas fundamentales y la vida

Un café:
Esta mañana, aunque es sábado y estoy de vacaciones, o precisamente por eso, me he levantado pronto y mientras saboreaba un delicioso café en el bar de mi amigo Juanito, en el Centro Comercial las Américas de Torrent, me ha dado tiempo de "picotear" en dos textos que me han parecido muy interesantes. Curiosamente, versaban los dos sobre las cuatro fuerzas fundamentales, el uno hacía una reflexión sobre la precisión necesaria de sus intensidades para que se haya podido desarrollar la vida en este Universo y el otro sobre la necesidad, presumible, de la existencia de dimensiones extra para explicar lo que les sucede a estas fuerzas capaces de moverlo todo.

Unas dimensiones extras:
Los humanos vivimos en un mundo cuadrimensional, formado por tres dimensiones espaciales, más la temporal que añadió Einstein con su Teoría de la Relatividad. Todo lo que nos sucede se puede explicar en estas cuatro dimensiones, pero parece ser que no ocurre lo mismo cuando se intenta explicar lo que les sucede a las cuatro fuerzas fundamentales que mueven el Universo.

La existencia de dimensiones extra, que no vemos, permitirían la unificación de las fuerzas de la naturaleza, es decir, entender las cuatro fuerzas como una manifestación a diferentes escalas de una única fuerza.

La gravedad, la interacción más débil y paradójicamente la primera en ser formulada, juega un papel muy importante en la búsqueda de esas dimensiones extras. Parece ser que es precisamente esta fuerza la que podría propagarse por estas dimensiones y explicaría por qué es tan bébil: se dispersa en las dimensiones que no vemos en lugar de estar confinada, como sucede con las otras tres fuerzas, a nuestro mundo tridimensional.

Si formulamos la gravedad en un lenguaje cuántico, se habla del gravitón como la partícula portadora de la fuerza gravitatoria, al igual que el fotón lo es de la fuerza electromagnética. Este gravitón nunca se ha podido observar, tal vez porque precisamente se propaga por las dimensiones extras. En los experimentos del LHC, el gran colisionador de hadrones que se pondrá en marcha proximamente en el CERN, se producirán colisiones entre protones a energías muy elevadas. Si en estos choques se produce algún gravitón podremos verlo, no directamente, porque desaparecerá en las dimensiones extras, pero sí por el rastro que dejará en el detector: un chorro de partículas que no tendrían un balance de energía y momento en la dirección opuesta.

Este hallazco significaría el descubrimiento de la nueva física que, a diferencia de descubrimientos anteriores, no desmentiría el modelo actual, el modelo estándar de la física de partículas, sino que lo extendería simplificado a los principios fundamentales. El modelo estándar actual, a pesar de que ha sido capaz de describir la mayoría de los procesos conocidos y predecir otros nuevos, deja demasiados parámetros libres y preguntas por responder. El descubrimiento de nuevas dimensiones y la cuantización de la gravedad serían el primer paso hacia la unificación de todas las fuerzas.

Las fuerzas fundamentales y la vida:
En muchos casos, bastaría un pequeño cambio porcentual en el valor de una constante física, manteniéndose inalteradas las demás, para desarrollarse un Universo inhóspito para la vida.

Fuerza electromagnética.- Si la fuerza electromagnética hubiera sido ligeramente más intensa con respecto a las demás fuerzas fundamentales, todas las estrellas serían enanas rojas y no se habrían formado los planetas. Si la fuerza electromagnética hubiera sido ligeramente menos intensa, todas las estrellas serían muy calientes y, por tanto, de corta vida.

Fuerza nuclear fuerte.- Si la interacción nuclear fuerte hubiera sido ligeramente más intensa, todo el hidrógeno que hubiere en el Universo primitivo se habría convertido en helio; si hubiera sido ligeramente menos intensa, no se habría formado el helio, dejándonos un Universo de sólo hidrógeno.

Fuerza nuclear débil.- Si la fuerza nuclear débil hubiera sido ligeramente más débil, no se habrían desarrollado las supernovas y, por consiguiente, los elementos más pesados no se habrían creado.


Gravedad.- Si la intensidad de la gravedad fuera ligeramente mayor o ligeramente menor que su valor real la vida basada en la química del carbono no podría haber evolucionado. Para un valor ligeramente mayor, sólo podrían existir estrellas enanas rojas, que son demasiado frías para permitir que, en su zona aledaña, hubiera planetas aptos para sustentar la vida. Para un valor ligeramente menor, todas las estrellas serían gigantes azules y persistirían durante un intervalo temporal demasiado corto para que pudiera desarrollarse la vida.

Barry Collins y Stephen Hawking en 1973 llegaron a la conclusión de que debió darse una densidad de energía exactamente equilibrada entre valores que condujeran a un Universo en expansión indefinida (universo abierto) o a un Universo en colapso (universo cerrado), la así llamada densidad crítica. Ni Collins ni Hawking creían que una restricción tan específica fuera mera coincidencia. Pero, ¿cómo explicar ese ajuste fino?. Brandon Carter en 1974 publicó su idea del principio antrópico, que en su forma fuerte sugiere que la existencia del observador impone restricciones sobre las propias constantes físicas; la realidad material no puede existir, a menos que haya observadores para conocerla; el universo tiene que tener aquellas propiedades que permitan que la vida se desarrolle en él dentro de alguna etapa de su historia.

La tesis antrópica, en particular su versión fuerte, fue recibida con desdén por muchos físicos, que no le reconocían estatuto científico. Los cosmólogas se han percatado de que existen muchos contextos en que nuestro Universo podría ser sólo uno (de un conjunto de infinitos posibles) de los universos "paralelos" en los que las constantes físicas varían. Ese conjunto se denomina a veces multiverso.

Nota: Gracias a Mike por su mención en su blog. Siempre vienen muy bien estas ayudas para seguir. Muchas veces lo más fácil es tirar la toalla.Un saludo.

Ilya Prigogine, al orden por el azar

Siguiendo con el espíritu del post anterior, una especie de lectura para el verano que hace referencia a uno de mis más admirados científicos: Ilya Prigogine.


¿Pueden unas cuantas moléculas, anodinas e inertes, autoorganizarse en una estructura compleja como por arte de magia? La ciencia de buena parte del siglo XX , del XIX y épocas anteriores no habría dudado en negarlo, pero Ilya Prigogine, Premio Nobel de Química de 1977, demostró con su teoría sobre las estructuras disipativas que este tipo de autoorganización era posible y, además, no puras casualidades. La cienca había conseguido muchos éxitos a base de desmenuzar los sistemas en sus partes más sencillas, en estudiar la linealidad, los sucesos simplificados y reversibles en el tiempo: trayectorias ideales, sistemas sin rozamientos, pequeñas fluctuaciones cerca del equilibrio, etc. En base a estos logros había universalizado una serie de resultados y principios que parecían inamovibles y lejos de ellos, en una especie de cuarto trastero, había desterrado todo lo que no se amoldaba a esa realidad idealizada. Por desgracia ese "mínimo" reducto incluía los propios orígenes biológicos y a la misma vida, al tiempo irreversible y a la inmensa mayoría de los procesos, mucho más complejos que simples idealizaciones, que ocurren en nuestro Universo.

Las bases de la revolución que ha producido Prigogine, con su teoría de las estructuras disipativas, se habían sentado a finales del siglo XIX, con la elaboración de la segunda ley de la termodinámica y la acuñación, por Clausius, de un término que ha resultado, posteriormente, casi mítico, la entropía. Esta magnitud es una medida del desorden de un sistema, nos da una idea del número de configuraciones posibles del mismo y nos señala el sentido de su evolución (entropía, en griego, significa evolución). En base a la segunda ley de la termodinámica, en un sistema aislado su evolución siempre será en el sentido en que se produzca la máxima entropía y se igualen sus desequilibrios. En la expresión de Boltzmann, la entropía S es igual a K log N, es decir, proporcional al logaritmo del número posible de configuraciones N del sistema. Cuando se produce el equilibrio ese número es máximo y el sistema se encuentra en un estado de máximo desorden.

Pero en el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante y todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación, al azar, que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización que se denominan estructuras disipativas. Aparece un nuevo tipo de orden llamado orden por fluctuaciones : si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado.


En estos nuevos tipos de estructuras y orden se basan la vida, la organización de un termitero, los ecosistemas y las propias organizaciones y sociedades humanas. Pero lo más importante es que este nuevo orden en el que el determinismo y el azar se llevan de la mano si que es un universal. Estas estructuras, al igual que la vida no aparecen y progresan por pura casualidad o accidente como se creía.


Me despido con unas palabras de Prigogine:"... En nuestro tiempo, nos hallamos muy lejos de la visión monolítica de la física clásica. Ante nosotros se abre un universo del que apenas comenzamos a entrever las estructuras. Descubrimos un mundo fascinante, tan sorprendente y nuevo como el de la exploración de la infancia."

Nota explicativa sobre la figura: Hacia 1900, Henri Bénard realizó una serie de experiencias de convección en capas delgadas, con la superficie superior expuesta al aire, que presentaron características muy peculiares. En estas experiencias una capa delgada de fluido era calentada desde abajo (así llevamos al sistema lejos del equilibrio), se establecía el flujo convectivo y se observaba en la superficie un diagrama complicado (autoorganización) que consistía en la división poligonal en celdas similares a un mosaico. El diagrama llegaba a ser un ordenamiento acabado de hexágonos regulares dispuestos como en un panal de abejas, como se indica en la figura.

Dragones alados y agujeros negros

Después de un post tan denso y pesado como el anterior vuelvo a presentaros a uno de mis clásicos a modo de lectura veraniega.

Los agujeros negros, esas extrañas y poderosas criaturas intuidas por la relatividad general de Einstein, son a esta época y sociedad técnica como los terribles y alados dragones de fuego eran al medioevo. Posiblemente, gozan de las mismas características de seres extraordinarios mitad verdad, mitad mentira, de las que gozaban aquellos dragones míticos. Y sin embargo son reales.

Técnicamente responden a lo que se llama una singularidad del espacio-tiempo, es decir, son lugares en donde la materia, el espacio y el tiempo colapsan. En un agujero negro dejan de tener sentido las leyes físicas tal y como las conocemos. Es un objeto estelar en donde la materia está tan comprimida, es tan densa, como toda la masa de la Tierra apretujada en la cabeza de un alfiler. Por efecto de la atracción gravitatoria que se genera ni los propios rayos de luz son capaces de escapar. En consecuencia vemos una especie de agujero sin luz, al que llamamos “agujero negro”.

El agujero negro es el resultado del último estadio de la vida de ciertas estrellas. A partir de una cierta masa, cuando el combustible nuclear de la estrella se acaba, las reacciones termonucleares no pueden impedir que la fuerza de la gravedad atraiga toda la materia de la estrella hacia el centro de la misma.

En las proximidades del llamado horizonte de sucesos del agujero, el lugar donde la materia, tal como la conocemos, conoce el último estadio antes de ser engullida, la distorsión del espacio y del tiempo es de tal calibre que una nave espacial que se encontrara allí la veríamos como suspendida, quieta, en reposo mientras que los tripulantes de la misma estarían experimentando una caída a gran velocidad hacia el abismo negro. Su tiempo y el nuestro quedan disociados debido al desmesurado efecto de la gravedad en las proximidades del agujero. El espacio queda también terriblemente distorsionado por un efecto brutal de marea: a pequeñas distancias la fuerza de atracción es extremadamente variable, de modo que una barra de hierro se estiraría como un chicle. Allí prolifera la llamada materia exótica capaz de desencadenar una especie de minúsculos túneles en el espacio tiempo que son no menos interesantes que los agujeros negros. Esos túneles son llamados “agujeros de gusano” y son capaces, al menos en teoría, de comunicar dos lugares distantes en el espacio y en el tiempo. Su estabilidad y tamaño vienen determinados por la cantidad de materia exótica que les aportemos y son la respuesta hipotética a los viajes interestelares a galaxias que se encuentren a millones de años-luz de nosotros.

Agujeros negros, agujeros de gusano, túneles en el espacio-tiempo, viajes en el tiempo, distorsión espacial y temporal, todos estos conceptos que parecen sacados de una novela de ciencia ficción, forman parte ya de la ciencia seria que se investiga en la actualidad, y no deja de ser una paradoja que la física, la ciencia más pura y dura, se ocupe de cuestiones, en otro tiempo, esotéricas. La materia a la que nos agarramos como lo más sólido, simple y real que tenemos se está convirtiendo, cada vez más, en algo lleno de misterio y complejidad. La física cuántica y la teoría de la relatividad general nos la presentan como algo siempre en movimiento que se confunde con el propio espacio y tiempo. Conforme tratamos de entender sus propias entrañas se nos aparece como formando una especie de entidad compleja que algún premio Nóbel no ha dudado en llamar: la materia-espacio-tiempo. Las extrañas criaturas que dan nombre a este artículo han contribuido, con la curiosidad que han despertado entre los físicos, a comprender mejor el mundo que nos rodea. En cierta forma su negra belleza ha arrojado un rayo de luz sobre nuestro conocimiento del universo que nos cobija.

Para saber más:
KIP S. THORNE (1995),”Agujeros negros y tiempo curvo”, ed. Crítica. Barcelona.
ROGER PENROSE(1991),”La nueva mente del emperador”, ed.Grijalbo Mondadori. Barcelona.
GILLES COHEN-TANNOUDJI Y MICHEL SPIRO(1988),”La materia-espacio-tiempo”, Espasa-Universidad.Madrid.
STEPHEN W. HAWKING Y ROGER PENROSE(1994),”Cuestiones cuánticas y cosmológicas”, Alianza Universidad.Madrid.
MICHIO KAKU(1996),”Hiperespacio”,ed.Crítica.Barcelona.

Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas

Sobre dos fractales clásicos, la curva de Koch y el polvo de Cantor, y cómo analizando el cálculo de su dimensión fractal somos capaces de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío (hipótesis fractal sobre las mismas).

Siguiendo el post de hace varias semanas sobre "El vacío cuántico, una hipótesis fractal", vamos a calcular el valor de la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas del vacío.La generalización del cálculo nos ofrecerá pruebas de que la naturaleza del cuanto de acción, causa de las propias fluctuaciones, puede haber dependido de la geometría adoptada por el Universo, o viceversa. Para ello nos valdremos de dos fractales clásicos, el polvo o conjunto de Cantor y la curva de Koch ambos en la figura anexa donde se explica su construcción. Nos fijaremos en el caso de la curva de Kock: El segmento inicial, de longitud 3, se convierte en los cuatro segmentos de longitud total 4. Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d . Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:
d = log 4 /log 3 = 1,26186...

Para nuestro propósito sobre las fluctuaciones ensayaremos un método general que involucra dos medidas diferentes. En la geometría euclideana no tendría sentido, pero la medida en las estructuras fractales depende de la magnitud de la unidad con la que se haga, de hecho en un fractal puramente matemático la distancia sobre la curva entre dos puntos cercanos tiende a infinito cuando la unidad de medida tiende a cero.

Realizaremos la medida sobre la mínima estructura del fractal, a partir de la cual se define el todo por simples iteraciones.

En la curva de Koch ( primera iteración) medimos la distancia entre los puntos 1-4 con una regla cuya mínima medida sea 3 y obtendremos que dicha distancia es 3 (una sola medida). Si medimos la distancia con una regla de mínima distancia 1, la medida 1-4 nos dará ahora como resultado 4 (cuatro medidas). El cociente entre los logaritmos de estos números nos da la dimensión fractal de la curva de Koch ( log 4 / log 3 = 1,26186.. ).

En el caso del conjunto de Cantor, las medidas involucradas son 3 y 2 (desde 3 segmentos hasta 2, y así en cada iteración) y la dimensión fractal del conjunto será log 2 / log 3. Es evidente que para un segmento lineal continuo encontraríamos el mismo valor para las dos medidas y el cociente entre sus dos logaritmos sería la unidad, que es la dimensión de una línea recta clásica euclideana.

Sobre estas premisas trataremos de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas(*** Ver:La cuestión de la medida). Si nos fijamos en la figura anexa observamos que las medidas implicadas en el cálculo deben ser 1/4 y 4, pues partiendo de la distancia A-A1, a la que le asignamos el valor de energía de referencia E0, el valor entre los extremos A-B será 4 E0 para cuatro medidas consecutivas: A-A1 + A1-A2 + A2-A3 + A3-B. O bien E0/4 para una sola medida directa A-B. Aunque hemos tomado n=4 (por trabajar sobre un n concreto) no hay ninguna razón para tomar un valor de n determinado y el cálculo lo haremos general para n y 1/n ( n será natural y finito). Pero nos ocurre como en el caso del conjunto de Cantor. Entonces debíamos comparar 1 con 2/3 que a la hora de manejar logaritmos nos daría resultados absurdos, por lo que realmente hicimos el cambio: (1)---> (3) y (2/3) ---> (2) que nos permite comparar números naturales. En el caso que nos ocupa el cambio será:(1/n)--->(n) y (n)--->(n³) ( para n natural y finito, aunque puede ser arbitrariamente grande). Posteriormente, en un siguiente post, comprobaremos ampliamente la justificación de este cambio. La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas será:

(Dim. topológica energía) x log n³ /log n = (3) x (3) = 9 . --->(*Expresión A*)

Es decir la dimensión topológica de la energía, que es igual a 3, queda multiplicada por el factor 3 que da cuenta de la irregularidad del fractal que representan. En los dos casos de curvas que hemos estudiado anteriormente la dimensión topológica es la unidad, de ahí que por simplificación no aparezca la dimensión topológica multiplicada.

Nos encontramos con un caso similar a lo que ocurre con una trayectoria completamente aleatoria (movimiento browniano de la primera figura). Como simple trayectoria es una línea de dimensión topológica 1, pero debido a sus irregularidades tiene una dimensión fractal 2, lo que nos indica que es capaz de recubrir un plano (dimensión 2). Las fluctuaciones cuánticas que tienen dimensión topológica 3 son capaces de recubrir un espacio de dimensión 9. ¿Por qué dimensión fractal 9? ¿Puede llevarnos la hipótesis fractal de las fluctuaciones a encontrar las 6 dimensiones compactadas de la teoría de supercuerdas?

En un próximo post generalizaremos el cálculo de la dimensión fractal de las fluctuaciones y veremos que nos da una pista sorprendente sobre las posibles dimensiones compactadas.




(***) La cuestión de la medida: En los fractales, debido a su irregularidad en todas las escalas, las medidas entre dos puntos varían según la magnitud de la unidad que se tome. El caso más sencillo y característico es la longitud de una costa. Entre dos puntos podemos encontrar una medida completamente diferente según consideremos la unidad de medida de 2000 metros, 1000 metros ó 500 metros. Conforme ésta unidad sea menor se adaptará mejor a las irregularidades y obtendremos una medida mayor. En el caso de las fluctuaciones cuánticas del vacío, si para una distancia D obtenemos una energía E0, para otra distancia 2D la medida directa sería E0/2 (una sola medida) y, en general, para la distancia nD sería E0/n.


Nota complementaria: 14/07/08.

Sobre el movimiento browniano:

En honor al "ministro iñigo" indico un link de la Wikipedia inglesa en la que puede comprobar lo que yo le indico, y él me niega, sobre la dimensión fractal del movimiento browniano, muy importante para seguir el supuesto de estructura fractal de las fluctuaciones cuánticas. Un libro clásico sobre el tema, donde también figura este fractal natural y se especifica su dimensión fractal, es el de : K.Falconer "The geometry of fractal sets". Cambridge University Press.

El movimiento aleatorio puro o browniano tiene una dimensión fractal igual a 2, sea la dimensión que sea la del espacio en el que se manifiesta. Lo que confundía a nuestro amigo era suponer que dado que este movimiento es capaz de tomar cualquier dirección en el espacio de 2, 3 ó más dimensiones, también sería capaz de recubrirlo. En este caso el movimiento browniano tendría un valor diferente según el espacio en el que se desarrollara pero no ocurre así, tal como parece intuirse (a mi también me ocurrió).

Sobre la elección de energía de las fluctuaciones cuánticas como escalar de medida:

A diferencia de otras magnitudes, la energía de las fluctuaciones del vacío no es un escalar cualquiera, representa el propio marco del espacio tiempo en fluctuación y su estudio como fractal nos puede dar más información sobre las posibles dimensiones compactadas, sobre el cuanto (que está en el origen de las propias fluctuaciones) y algún indicio sobre la relación del mismo con las configuraciones del espacio-tiempo (gravedad cuántica).

En la (*Expresión A*) , sobre la dimensión fractal, el cociente de logaritmos siempre será igual a 1 en las estructuras continuas no fractales, las dos medidas de las que hemos hablado coincidirán y por tanto sólo tendremos la dimensión topológica.


A modo de ejemplo:

Vamos a imaginar un sencillo mundo, que llamaremos V, de sólo una dimensión. La principal ley que tendremos en cuenta es la de la constitución más íntima de su espacio unidimensional (ver dibujo y supongamos n=4): para una longitud 7 (equivalente al lado AC) la energía (lineal) de vacío asociada hace que esa longitud se quiebre y se convierta en los lados iguales de un triángulo de longitud 4, cada uno (AB y BC).

Los habitantes de V conocen esa ley porque han observado la influencia de las masas sobre la deformación de su espacio y conocen la energía de vacío, pero desde su perspectiva no necesitan de más dimensiones que una para explicarla y en esa única dimensión está bien definida. La única medida real de longitud en ese mundo unidimensional entre A y C es 8, y la medida de 7 es completamente ficticia. Sin embargo suponiendo una geometría fractal serían capaces de descubrir un mundo bidimensional más amplio que el suyo.

Volviendo a nuestro mundo de tres dimensiones espaciales, la hipótesis fractal sobre las fluctuaciones cuánticas del vacío podría confirmar de forma semejante un mundo de más dimensiones espaciales que las tres conocidas.