Números primos y sus cuadrados próximos

Representación de los números primos en función de su cuadrado más próximo. Una forma simple de observar su distribución no aleatoria.

¿Son aleatorios? 

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita… Aunque se sabe que está íntimamente conectada con los ceros de la función zeta a través de la hipótesis de Riemann. Y por otra parte, es conocida su distribución en forma espiral, primero por la llamada espiral de Ulam (1963) y posteriormente por la de Sacks (1994).

 

Wikipedia. Espiral de Sacks. Claudio Rocchini.

Comparando su distribución no aleatoria

Si observamos la lista de los números primos que existen dentro de la primera centena de números naturales, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, es difícil saber si su distribución tiene algo de particular. De hecho, si comparamos esa lista con una distribución aleatoria de 25 números (sin repetición, entre 1/100), 5, 8, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 28, 34, 37, 38, 46, 48, 49, 55, 57, 60, 69, 81, 82, 84, 87, 99, 100, no es fácil determinar grandes diferencias entre ambas listas, a simple vista.

Casualmente, después de leer sobre caminos aleatorios y el último premio Abel, pensé en considerar la sucesión de primos como una especie de camino y se me ocurrió representar los números primos en función de su cuadrado más cercano y ver lo que pasaba...  Es interesante, el 2 sería igual a 4-2, el 3 a 4-1, el 5 a 4+1 y así hasta el 97, según la siguiente tabla. Se compara el resultado con otra tabla de 25 números aleatorios, sin repetición, en el mismo rango, 1/100.

25 números aleatorios en función de cuadrados.

5 = 4+1	48=49-1
8 = 9-1	49=49+0
11=9+2	55=49+6
14=16-2	57=64-7
15=16-1	60=64-4
18=16+2	69=64+5
19=16+3	81=81+0
23=25-2	82=81+1
28=25+3	84=81+3
34=36-2	87=81+6
37=36+1	99=100-1
38=36+2	100= 100+0
46=49-3

25 primeros primos en función de cuadrados.

2 = 4-2	43 = 49-6
3 = 4-1    A	47 = 49-2
5 = 4+1   A	53 = 49+4
7 = 9-2    B	59 = 64-5
11 = 9+2  B	61 = 64-3  E
13 = 16-3 C	67 = 64+3 E
17 = 16+1	71 = 64+7
19 = 16+3 C	73 = 81-8  F
23 = 25-2	79 = 81-2  G
29 = 25+4	83 = 81+2 G
31 = 36-5  D	89 = 81+8  F
37 = 36+1	97 = 100-3
41 = 36+5  D

Observamos que hay 7 parejas de números, marcadas como A,B,C,D,E,F y G que equidistan, por arriba y por debajo, de un cuadrado: el 3 y el 5 tienen en medio al 4, el 7 y el 11 en medio tienen al 9, el 13 y el 19 tienen el 16 y así hasta el 73 y el 89 que equidistan del 81. En la tabla de los números aleatorios no observamos ni una sola pareja de este tipo, aunque no sería extraño observar, casualmente, alguna.

En otros rangos de numeración encontramos más parejas de números primos, por ejemplo: 137 y 151 equidistan de 144, al igual que 139 y 149; igual ocurre con 157 y 181 respecto al cuadrado 169. En el rango de 200/300, tenemos 211 y 239 que equidistan de 225, igual que 223 y 227. Además tenemos el  241 y 271 que equidistan del cuadrado 256.

 Distribución en rangos 900/1000 y 9900/10100

En rangos más elevados, por ejemplo en el 800/900, observamos el 881 y el 919 que equidistan del cuadrado 900. Conforme avanzamos y los números son más elevados ocurre menos, porque los cuadrados empiezan a escasear más que los números primos: del 900 al 1000 sólo tenemos dos cuadrados, el 900 y el 961, mientras que existen 14 números primos. En el rango 1/100 existen 9 números cuadrados y 24 números primos, lo que permite que se vea mucho mejor la distribución no aleatoria en base a la mínima distancia con los cuadrados. ¡Hasta en el rango 9900/10100, encontramos tres equidistancias de primos con un cuadrado: el 9931 y el 10069 con el cuadrado 10000, junto con los números primos 9907 y 10093 y los números 9901 y 10099! En los casos en que los números primos no equidistan, exactamente, de un cuadrado central observamos que se sitúan de forma casi simétrica por abajo y por arriba del mismo, dando la impresión de cierto orden alejado, desde luego, de la distribución aleatoria.Posiblemente es este fenómeno el que permite las visualizaciones en espiral de Ulam y Sacks.

Conexión con la física cuántica

…"Existe1 una conexión entre la Hipótesis de Riemann y la física cuántica, recientes descubrimientos vinculan al comportamiento de ciertos elementos a escala atómica con los números primos, parece ser  que hay ciertos patrones en los niveles  energéticos de los átomos grandes,  como los del uranio, que comparten propiedades muy parecidas  con ciertos patrones de los números primos,  se trata de un patrón tan marcado que no puede ser una mera coincidencia".


Termino como en otro de mis post dedicados a los números primos: Cualquier pequeñísima parcela que deseemos estudiar del campo de los números primos se vuelve más y más intrincada e interesante, y la mayoría de las veces parece como el agua que intentamos retener y se nos escapa entre los dedos. 



Al menos se puede hacer una pequeña acotación en su número:

Número de cuadrados < número de primos < numero de naturales:

               
     <sup>{ n1/2 < n/ln(n) < n } siendo n/ln(n) el número de primos hasta n (teorema de nºs primos) y n1/2 es el número de cuadrados hasta n.

      Para n--> infinito, las tres expresiones tienden a infinito.</sup>


Un abrazo amigos.

 

Nota. 1: Tomado del blog MasScience. Rzedowski, M., (2006). Los enigmáticos números primos [En línea].México: Departamento de Control Automático del Cinvestav, Recuperado el 1 de Junio  de 2018  desde http:// eclipse.red.cinvestav.mx/publicaciones/revista/



El caos que vino del orden: el efecto mariposa

En el siglo XVIII el gran filósofo, matemático y astrónomo Pierre Simon Laplace, en plena euforia por el éxito de las leyes newtonianas, suponía que con esas leyes en la mano y con lo datos necesarios: “Una inteligencia abarcaría en la misma fórmula los movimientos de los cuerpos más gigantescos del cosmos y los del átomo más imperceptible; para ella no habría nada incierto, y así el futuro como el pasado estarían ante sus ojos”. Isaac Asimov, muchos años después, en uno de sus ensayos sobre la incertidumbre, comparaba esa actitud con la del joven que es lo suficientemente inmaduro para creer que lo sabe todo. Con los años van desapareciendo muchas certidumbres y de la misma forma, a principios del siglo XX con la teoría de la relatividad de Einstein, con la física cuántica y la incertidumbre de Heisenberg, los viejos esquemas deterministas fueron cayendo y dejando tras de si un mundo menos seguro e intuitivo. Aún así, hasta mediados del siglo pasado todavía era una creencia general entre los científicos que dado un conocimiento aproximado de las condiciones iniciales, y, conociendo la ley natural, podía calcularse el comportamiento aproximado de un sistema.

Atractorde Lorenz. Wikipedia.

Se creía que de la misma forma que los astrónomos consiguieron hacer sus previsiones sobre los movimientos de los astros, con el conocimiento de las leyes que se tenía sobre el tiempo atmosférico y la potencia de cálculo que iban a brindar los ordenadores se iba a poder prever, cada vez con mayor aproximación, el tiempo atmosférico. Se suponía que el problema que se planteaba era semejante, una cuestión de aproximaciones, que siendo cada vez mejores, conseguirían una mejor previsión a largo plazo. El optimismo irreal que caracterizó los años 1950 y 1960, en lo que a a la previsión del tiempo atmosférico se refería, se vio truncado por un asombroso descubrimiento del meteorólogo y matemático Edward Lorenz. 

Lorenz, como matemático que era, trató de extraer la esencia de lo que ocurría con el tiempo atmosférico y encontró unas sencillas y, aparentemente, anodinas ecuaciones diferenciales. No parecían tener nada de particular, pero al tratar de representarlas se dio cuenta, por casualidad, de que una diferencia mínima en los datos de entrada originaba que, al pasar el tiempo, el patrón representado variara de forma completamente diferente. Descubrió los sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales: una pequeñísima variación en los datos de entrada originaba resultados completamente diferentes. Estudiando estos sistemas en un espacio abstracto llamado espacio de fases se descubrió que mientras los sistemas conocidos tendían a figuras concretas y sencillas como puntos o circunferencias, llamadas atractores, estos otros tendían a figuras de complejidad infinita que fueron bautizados con el nombre de atractores extraños. El primero de estos atractores es el atractor llamado la mariposa de Lorenz que aparece en la figura superior.

Caos, James Gleick

A partir de sistemas conocidos y regidos por ecuaciones en “completo orden” obtenemos unos sistemas que parecen llevar el caos en lo más profundo de su esencia. De forma exagerada, pero muy ilustrativa, Lorenz explicaba que los sistemas relacionados con el tiempo meteorológico eran tan sensibles a las condiciones iniciales que el simple aletear de una mariposa, en un rincón de China, podría variar las condiciones climatológicas en Alabama. A partir de un orden establecido, se producen infinidad de realimentaciones en las que intervienen la convección del fluido caliente, su velocidad y la transferencia del calor entre diferentes capas del mismo. El orden lineal es sustituido por la no linealidad caótica y muy sensible a las más pequeñas variaciones. 

 Libro muy recomendable: "CAOS, la creación de una ciencia", de James Gleick. Una obra maestra de la divulgación de esta nueva ciencia que es el caos. Una ciencia de las cosas cotidianas: del arte y de la economía, de los ritmos biológicos y de los atascos de circulación, de las cascadas y del tiempo…

Gravitación cuántica, distancia fundamental y teoría de cuerdas

La teoría de la relatividad general de Einstein establece una relación directa entre la gravitación y la geometría del espaciotiempo. Esto supone que una teoría cuántica de la gravitación implicará una estructura cuántica del propio espaciotiempo. Y en esta estructura deberá jugar un papel importante una especie de "cuanto espacial", o mínima distancia de interacción. Un nuevo límite fundamental en la Naturaleza, similar a la velocidad de la luz o al cuanto de acción, ahora en la escala de las distancias.

Las dos grandes teorías físicas de las que disponemos, la relatividad general y la mecánica cuántica parecen no llevarse bien entre ellas. La relatividad general está formulada de una manera clásica y esa esencia choca con la formulación cuántica. De hecho, la aplicación directa de las reglas de la mecánica cuántica a la teoría de gravitación de Einstein da lugar a inconsistencias matemáticas. El camino más fácil es intentar formular una teoría cuántica de las ondas gravitacionales, o "arrugas" o vibraciones de la geometría espaciotemporal similares a las ondas electromagnéticas. Cuánticamente, se pueden ver como conjuntos coherentes de partículas, de la misma forma que una onda electromagnética es un conjunto coherente de fotones. Los equivalentes gravitacionales de los fotones se denominan gravitones.

---Distancia fundamental---

A medida que consideramos distancias cada vez menores, las interacciones entre gravitones producen cascadas de creación y aniquilación demasiado violentas, de tal forma que la delicada estructura que funcionaba para las demás partículas fracasa estrepitosamente para los gravitones. Existe una especie de realimentación en la interacción entre gravitones, pues interactúan mediante otros gravitones y esto hace que se pierda la sencilla linealidad que presentan otras fuerzas. Esta cuestión es la causante de que la teoría cuántica de los gravitones no sea renormalizable.

Lo más asombroso es que, por lo que se sabe en otros casos similares de teorías no renormalizables, una explicación posible es que el gravitón no sea una partícula fundamental, sino que tenga componentes a una escala de distancias determinada por la intensidad intrínseca de la interacción gravitacional. Si esto es correcto, el gravitón revelaría sus componentes en la vecindad de al escala de Planck, la única magnitud con dimensiones de longitud que se puede formar con las tres constantes fundamentales de la física, c, h y G (unos 10^-33 centímetros).

Para que nos hagamos idea de la dificultad a la que nos enfrentamos en la formulación de una teoría cuántica de la gravitación, a la distancia de Planck las fluctuaciones cuánticas cambian la estructura geométrica e incluso topológica del espaciotiempo, pudiendo crear agujeros incluso negros microscópicos, de ahí que sean tan importantes a esas distancias como los gravitones. Esta es la vieja idea de Wheeler, que habló de la estructura "espumosa" del espaciotiempo cuántico.

---Teoría de cuerdas y agujeros negros---

Otra vez nos encontramos con nuestros viejos amigos lo agujeros negros, ahora en forma microscópica como resultado de las fluctuaciones cuánticas a escalas de la distancia de Planck. Lo que hemos aprendido de ellos, pero sobre todo la teoría de cuerdas, o la idea de que las partículas que denominamos elementales son en realidad objetos extensos en una dimensión, cuerdas diminutas cuya dinámica esta especificada por sus modos de vibración: cada modo de vibración independiente representaría un tipo diferente de partícula. Esta teoría, básicamente muy sencilla en sus planteamientos iniciales, conduce a una estructura matemática de riqueza insospechada, cuya exploración por parte de físicos y matemáticos aún pertenece a las generaciones futuras.

Hay dos clases básicas de cuerdas, según sean cerradas sobre sí mismas o abiertas, con los extremos libres. Las cuerdas cerradas siempre tienen un modo de vibración que se puede identificar con el gravitón, mientras que las cuerdas abiertas siempre tienen un fotón. El resultado es que las cuerdas predicen la existencia de gravitación en el sector cerrado, y de interacciones del tipo de la interacción electromagnética en el sector abierto. Pero se ha descubierto que las cuerdas no son los únicos objetos fundamentales de la teoría, existen regiones singulares a las cuales las cuerdas abiertas estarían enganchadas, se conocen como D-branas: pueden ser objetos puntuales (D-partículas), tener una dimensión (D-cuerdas), dos dimensiones extendidas (D-membranas), etc.

Cuando las cuerdas o D-branas (generalizando) alcanzan un alto grado de excitación sobre su estado de mínima energía, se convierten en agujeros negros. Esto se entiende bastante bien a nivel cuantitativo gracias a un importante cálculo de Andrew Strominger y Cumrum Vafa, de la Universidad de Harvard, aunque sólo en el caso de agujeros negros con mucha simetría. En este caso el número de estados de un agujero negro, según los cálculos independientes (no cuerdísticos) de Bekenstein y Hawking, coincide con el de un sistema adecuado de D-branas.

---Espaciotiempo no conmutativo, el principio básico---

Como en el caso de la mecánica cuántica, en que el principio básico del que emanaba las propias relaciones de indeterminación de Heisenberg era la no conmutatividad entre posiciones y velociadades, la imposibilidad por principio de conocer ambas cantidades con total definición, en nuestro caso de una teoría de la gravitación cuántica se busca un principio de no conmutatividad puramente espaciotemporal. El tipo de estructura matemática necesaria fue descubierto por el matemático francés Alain Connes en los años ochenta, una geometría cuántica en la cual las coordenadas espaciales son matrices que no conmutan entre sí, en analogía exacta con las posiciones y velocidades de una partícula. De hecho ya se ha comprobado que las cuerdas abiertas poseen propiedades matemáticas que recuerdan esta geometría no conmutativa. Posteriormente se ha llegado a la conclusión de que las D-branas son los propios ladrillos del espaciotiempo: el espaciotiempo adquiere así una naturaleza granular a la escala de Planck, una especie de retículo de D-branas trenzadas mediante las cuerdas abiertas.

Una propiedad matemática tan elemental como es la no conmutatividad está en la base de lo que será la futura teoría de gravitación cuántica. Los retículos espaciales que sustituyen a las coordenadas no conmutan, es decir si X es el operador cuántico de la coordenada x e Y es el operador de la y, el producto XY es diferente al producto YX. Las coordenadas clásicas son simples números reales que por descontado son conmutables, pues da lo mismo multiplicar las coordenadas xy en ese orden o en el contrario yx. Esta diferencia tan abismal nos da una idea de la nueva complejidad necesaria para poder describir correctamente la realidad del espaciotiempo.

Reedición de un antiguo post, gracias amigos. Un abrazo.

Extraña luz de agujero negro

Por su propia definición los agujeros negros son objetos que se supone que no emiten nada, y así sería si la física real coincidiera con la física clásica, pero la realidad cuántica deja resquicios de indeterminación capaces de alumbrar fenómenos paradójicos. De hecho, gracias al principio de incertidumbre, y a las fluctuaciones cuánticas que amparan dicho principio, se crean pares de partículas virtuales capaces de dar algo de luz a una criatura tan terrible y poderosa como un agujero negro, que todo lo absorbe. Esa luz, o radiación, lleva hasta los límites de las leyes físicas que conocemos un concepto aparentemente abstracto ligado al desorden y a la información de un sistema: la entropía del agujero negro.

Un agujero negro clásico engulliría todo lo que se le acercara, sin más, pero un agujero negro “tratado cuánticamente” permite que alguna de las partículas de los pares de partícula-antipartícula, que continuamente se están formando y desapareciendo debido al principio de incertidumbre, sea absorbida por el agujero dejando libre la otra cuya energía es expulsada al exterior y produce una radiación característica cuyo espectro es exactamente el que sería emitido por un cuerpo caliente (aquí, caliente es considerada la temperatura superior al cero absoluto ó 273,15 grados centígrados bajo cero).

Cuanto menor es la masa de un agujero negro, más alta es su temperatura, por tanto, a medida que el agujero negro pierde masa, su temperatura y el ritmo de emisión aumentan y con ello pierde masa con mayor rapidez. Se supone que cuando su masa se reduce lo suficiente el agujero negro desaparecerá en un tremendo estallido final.

Un agujero negro del que no salga nada (el caso clásico), ni presente al exterior ninguna manifestación cuando engulle materia con mucha entropía, sugiere una forma demasiado fácil de disminuir la entropía de la materia exterior al mismo. Conforme arrojáramos al agujero materia con gran entropía haríamos disminuir la entropía exterior. Serían agujeros por los que se “escaparía” el cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica, la tendencia natural al aumento de entropía o desorden (ver nota final sobre la entropía). Desde el Bing Bang, una explosión en perfecto orden , la entropía total del Universo no ha dejado de crecer y así será hasta la llamada muerte térmica .

La extraña luz de los agujeros negros, bautizada como radiación de Hawking que fue quien la descubrió, devuelve desorden, entropía, a nuestro Universo que sigue degradándose sin remedio hasta su muerte final (la energía de la radiación calorífica es la energía más degradada). Sin esa tenue luz los agujeros negros engullirían, además de materia, desorden. El determinismo clásico los hace más negros pero menos reales… la realidad, por una vez, no es tan “negra” como la pintan.

Nota sobre la entropía

Un ejemplo sencillo nos ilustrará sobre el significado de la entropía. Supongamos un saquito lleno de monedas. Si las ordenamos sobre la mesa, todas juntas con la cara hacia arriba, hemos conseguido que el sistema tenga una entropía mínima (cero) que se corresponde con un máximo orden. Sólo existe un microestado asociado a esta configuración {todo caras}. Sería similar al orden que tiene una estructura cristalina a cero grados absolutos, sólo una configuración posible, máximo orden y entropía cero. Si volvemos a poner las monedas en el saquito, lo movemos bien, y las dejamos caer desordenadamente sobre la mesa el estado macroscópico que obtenemos está asociado a muchos estados microscópicos diferentes aleatorios. Cada vez que repitamos la operación obtendremos la misma sensación de desorden y nos será difícil distinguir la configuración actual de otra anterior. En este caso el valor de las configuraciones es máximo y por tanto también la entropía, y mínimo el orden. Este estado es similar al llamado equilibrio térmico de un sistema, el de máximo desorden al que tienden de forma natural todos los sistemas aislados a los que no se les aporta orden desde el exterior.

El espín, el misterioso giro de las partículas cuánticas

En la física clásica las partículas como el electrón eran consideradas puntuales. Sin embargo, años antes de que en 1922 Stern y Gerlach realizaran un experimento que permitía deducir que los electrones tienen un momento magnético intrínseco (por giro sobre sí mismo) con sólo dos valores posibles, ya eran conocidas ciertas anomalías (efecto Zeeman anómalo) con relación al desdoblamiento de líneas espectrales esperado. Esto, por muy extraño que pareciera entonces, sólo podía ocurrir si los electrones giraban sobre sí mismos (observación, al final del post) y no eran, por tanto, partículas puntuales. En 1926 los jóvenes físicos Goudsmit y Uhlenbeck propusieron la atrevida idea de que el electrón tiene un momento angular (o cinético) intrínseco (el espín), es decir, que la partícula gira "de alguna manera" sobre sí misma de modo que produce precísamente ese momento magnético anómalo observado.

La ecuación de Dirac:

Durante algún tiempo no se supo cómo incluir ese espín en la ecuación de ondas del electrón, hasta que Dirac trabajando para construir una teoría cuántica-relativista del electrón encontró, sin buscarlo, justamente el mismo campo magnético que surge del modelo de electrón con espín. En sus propias palabras: " No me interesaba incluir el espín en la ecuación de onda, ni siquiera consideré esa cuestión. Fue una gran sorpresa para mi descubrir después que el caso más simple ya implicaba el espín."

La obtención por Dirac de una ecuación que, partiendo de primeros principios, permite deducir el espín fue recibida con enorme expectación entre sus colegas en las navidades de 1927, antes de su publicación en los Proceedings of the Royal Society a principios de 1928. Esta ecuación proporcionaba la explicación de los niveles energéticos esperados para el átomo de hidrógeno (sus líneas espectrales : cada tipo de átomo emite un conjunto único de colores, estas líneas de color o líneas espectrales son la "firma" de los átomos).

El espín es un concepto puramente cuántico, realmente no un giro físico:

Estableciendo con precisión la teoría cuántica del momento cinético (o angular), se halla que los valores pueden ser múltiplos semienteros de h (+1/2h ó -1/2h). Esto que puede ser paradójico, pues sugiere la existencia de una acción menor que h o mínimo cuanto de acción, se resuelve precisamente introduciendo el concepto de espín (o momento cinético intrínseco). Mientras que el momento cinético orbital siempre es entero, el espín puede ser semientero.

El espín es un concepto puramente cuántico: clásicamente, el momento angular intrínseco de una partícula puntual sólo puede ser nulo (un punto no puede girar sobre sí mismo). Con relación a los campos cuánticos el espín está relacionado con el número de componentes del campo. siendo S es espín del campo, el número de componentes será igual a 2S+1. Así, un campo escalar es un campo de un componente, es decir, un operador definido en cada punto del espacio-tiempo, y un solo observable o magnitud medible de tipo escalar; los cuantos asociados son partículas de espín cero. Un campo vectorial, como el campo eléctrico, por ejemplo, es un campo de tres componentes: tres operadores en cada punto del espacio-tiempo (tres observables o magnitudes a medir asociadas cada una a un operador). Los cuantos asociados son partículas de espín 1. Las partículas de espín 1/2 son los cuantos de un campo de dos componentes o campo espinorial. Un campo tensorial es un campo de cinco componentes, como el gravitatorio; los cuantos asociados son partículas de espín 2, como el llamado gravitón.

Partículas de fuerza y partículas de materia:

Gracias a la ley de conservación del momento cinético, no hay problema de "semicuanto de acción": si, en una transición, el momento cinético es semientero en el estado inicial, lo es también en el estado final y, por tanto, toda interacción implica un múltiplo necesariamente entero del cuanto de acción. Esta ley de conservación del carácter semientero del momento cinético indica que las partículas de espín semientero encierran una propiedad, en cierto modo indestructible. De hecho, todas las partículas de materia, los fermiones, son partículas de espín semientero, mientras que los cuantos de los campos de interacción o fuerza, los bosones, son partículas de espín nulo o entero. Respecto a los fermiones, el principio de exclusión de Pauli manifiesta la impenetrabilidad de la materia. Mientras que dos o más bosones pueden estar en el mismo estado y la magnitud de la fuerza que representan aumenta, dos fermiones no pueden estar en el mismo estado a la vez según el principio de exclusión de Pauli. Los bosones son partículas de fuerza y los fermiones de materia.

El misterioso "giro" de las partículas cuánticas las convierte en fermiones o partículas de materia, o en bosones o partículas de fuerza. En partículas impenetrables o en partículas capaces de sumar su fuerza para dar mayor o menor intensidad a las interacciones de la materia.

Es recomendable leer el post:La extraña medida cuántica en un espacio de infinitas dimensiones: el espacio de Hilbert.
También el post sobre el condensado Bose-Einstein.

(**) Observación importante: En un principio la explicación lógica era pensar en un giro físico de las partículas que originaría el momento observado, pero la explicación correcta era la introducción de un número cuántico adicional con sólo dos valores posibles, +1/2 h y -1/2 h. Realmente el espín es una propiedad puramente cuántica que se manifiesta como un giro, con su momento correspondiente asociado. No es físicamente un giro de la partícula.


Nueva edición del post. Un abrazo amigos.

Números primos, números de una sola pieza

Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.

En cierta forma, estos números podríamos decir que son "de una pieza", y todos los demás números naturales se pueden construir a partir de ellos mediante un proceso llamado factorización. Los primeros números primos menores de cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cada uno de ellos sólo se puede escribir como: 2 = 2, 3 = 3,..., 29 = 29,..., 67=67, ..., etc. Mientras que el resto de números naturales necesitan expresarse en función de los números primos: 4 = 2x2, 9 = 3x3, 6 = 3x2, 8 = 2x2x2, ...,30 = 2x3x5, etc.


Se conoce una importante expresión llamada teorema de los números primos que nos da la cantidad de números primos que existen hasta un determinado número. Aproximadamente, para números suficientemente grandes, la expresión es:cantidad de números primos = (número)/Logaritmo Neperiano(número). Aplicando la fórmula para (número)=1000, obtenemos 145 primos, cuando en realidad hay 168. Para 5000 nos acercamos un poquito más, la expresión nos da 587 y en realidad existen 669, y conforme probamos números mayores nos acercamos más, aunque las cifras convergen muy lentamente: para 1000 el 86,3%, para 5000 el 87,7% y para 50000 el 90%.

Lagunas con ausencia de números primos:

Entre 1 y 100 existen 25 números primos, como hemos visto, y en la lista observamos grupos de números compuestos, una especie de lagunas con ausencia de números primos: del 24 al 28 y del 90 al 96. Entre el 100 y el 200 hay 23 primos: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,193, 197, 199. Y encontramos lagunas como la del 182 al 190. Nos podemos preguntar si existen lagunas más grandes entre números primos. A simple vista, parece que no vamos a encontrar ninguna de estas lagunas de forma clara con una suficiente cantidad de números, pero no es así. Podemos encontrar tantas como queramos y de la longitud que deseemos, para ello utilizaremos la siguiente expresión (pueden encontrarse muchas más): n!+2 , desde 2 hasta n. Vamos a ver algunos ejemplos: para n=3, 3!=3x2x1=6; 6+2=8 y 6+3=9. Hemos encontrado la primera laguna formada por el 8 y el 9. Seguimos con n=4: 4!=4x3x2x1=24; 24+2=26, 24+3=27 y 24+4=28. Hemos encontrado tres números compuestos seguidos, pero con esta expresión podemos encontrar cuantos queramos, por ejemplo 101 números seguidos (al menos): 102!+2, 102!+3, 102!+3, ..., 102!+101,102!+102.

¿De cuántas piezas están hechos los números?

Volviendo al título del post, se pueden ver los números compuestos como formados por piezas de números primos. Un número compuesto cualquiera, por ejemplo, el 6 es igual al producto de dos números primos 2x3, podemos considerarlo como formado por dos piezas, la pieza 2 y la pieza 3. En cambio los números primos, como el 7, están formados por sólo una pieza. En un símil musical el número primo podría considerarse como armónico principal y único, y el número compuesto como una composición de armónicos primos que formarían su espectro o descomposición factorial.

Analizando la factorización de un número como producto de números primos, podríamos imaginar que cualquier número está formado por tantas piezas como factores primos lo componen. Se observa como curiosidad que los números del orden de 100 estarían formados, como media, por un producto de 2,7 números primos, los del orden de 1000 por un producto de 2,96 números primos, los de 10000 por un producto de 3,16 números, los de 100000 por 3,3, los de 1000000 por 3,42 y los de 10000000 por 3,64. Observamos que la cantidad de "piezas" necesarias para formar cualquier número aumentan muy lentamente, y ese aumento, además, decrece. Es un tanto asombroso que mientras un número de 3 cifras necesita tres primos para factorizarse (está hecho de tres piezas), uno de 10 cifras sólo necesita cuatro (está hecho de cuatro piezas). Claro que al hablar de piezas estas son tan dispares como el 3 y el 2000003, ambos son números primos.

En un extraño (e imaginario) mundo cuántico formado por números enteros, sería fácil descubrir los números primos. Todos los números compuestos se verían como una borrosa superposición de armónicos primos mientras que los números primos aparecerían claros y estables con una sola configuración fácilmente distinguible. Algo de esto debe le debe ocurrir a Daniel Tammet, un joven autista inglés con una sorprendente capacidad para los números. Cuando piensa en ellos ve formas, colores y texturas que le permiten distinguirlos de una manera asombrosa. Al multiplicar dos números ve dos sombras; al instante aparece una tercera sombra que se corresponde con la respuesta a la pregunta. Cuando piensa en algún número sabe reconocerlo como primo o compuesto. Estuve viendo el reportaje sobre su vida, sus facultades como matemático y su prodigiosa memoria. Sus capacidades son asombrosas. En una semana logró aprender, desde cero, suficiente islandés (un idioma catalogado como muy difícil) para mantener perfectamente una entrevista en la televisión de Islandia.

A alguien le podría parecer que el estudio de los números primos no tiene ninguna utilidad, desde luego se equivoca (ojo, el algoritmo de encriptación RSA nos permite las transacciones fiables). Cualquier saber matemático, por muy absurdo que nos parezca está relacionado con infinidad de campos aparentemente inconexos. Cualquier avance en el conocimiento sobre los números primos, por ejemplo, podría ser decisivo para resolver algún problema del campo más increible que se nos ocurra, tanto matemático como físico. La realidad es conexa y conforme la vamos comprendiendo vemos que el conocimiento que tenemos de ella también lo es.


Una novela sobre investigación de números primos:

Sobre los números primos recuerdo haber leído una novela interesantísima titulada "El tío Petros y la conjetura de Goldbach". La trama discurre a través de las vicisitudes de un matemático obsesionado por comprobar la famosa conjetura de Goldbach sobre los números primos, uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Confieso que logró atraparme al igual que le ha pasado a infinidad de lectores. Es muy entretenida y recomendable.

... Mi agradecimiento a la página Descartes, del Ministerio de Educación, que me ha facilitado los cálculos de factorización de grandes números que he necesitado.
... Recomiendo visitar esta magnífica página sobre números primos (en inglés).

Nuestro amigo Tito Eliatron nos envía dos interesantísimos enlaces de su blog a una charla del matemático, Medalla Fields, Terry Tao:Primera parte de la charla, segunda parte. Gracias Tito.