Miss Leavitt, la profundidad del universo y del olvido

El universo era una fotografía plana. Sólo sabíamos la distancia de las estrellas próximas mediante métodos geométricos, pero las lejanas nebulosas o cúmulos estelares sólo eran manchas de luz en el panel cósmico, sin ninguna profundidad. Esta era la situación al comienzo del siglo XX, hasta que una mujer, de salud frágil, encontró un instrumento para descubrir la verdadera grandeza del universo.


Uno de los objetivos del pasado Año Internacional de Astronomía fue la reivindicación del papel de las mujeres en la investigación astronómica. Generalmente, apenas se las ha dejado participar, y nada más en temas marginales, hasta bien avanzado el siglo XX. Este fue el caso de Henrietta Swan Leavitt, que formó parte del grupo de mujeres calculistas del Observatorio de Harvard.

Con un presupuesto limitado, el director de este centro quiso ahorrar y contrató mujeres que, con un salario mínimo, eran atentas, educadas y pacientes, las personas más adecuadas para analizar miles de aburridas placas fotográficas de campos estelares. Pero Miss Leavitt, que era graduada en Radcliffe con un curriculum tal que, si hubiese sido hombre, le habría proporcionado un título de licenciado en humanidades por Harvard, aceptó el tedioso trabajo de medir las luminosidades de las estrellas en las placas de la Pequeña Nebulosa de Magallanes. Y fue allí donde hizo el descubrimiento de dieciséis estrellas que tienen unas propiedades bien curiosas: su luminosidad varía periódicamente y las más brillantes tienen un periodo de variación más largo. Como la distancia que nos separa de ellas es básicamente la misma, el efecto, llamado actualmente relación periodo-luminosidad de las cefeidas, es realmente intrínseco y constituye un instrumento fabuloso para medir distancias en nuestra galaxia o más allá.


En unos años en que era viva la polémica sobre si la Vía Láctea era la única galaxia y por tanto todo el universo, o bien si había multitud de galaxias y la nuestra era una de tantas, la aportación de Leavitt fue esencial para discernirlo. Shapley fue el primero en utilizar las estrellas de Miss Leavitt para medir la Vía Láctea, pero fue Hubble quien intuyó las verdaderas dimensiones del universo, cuando descubrió primeramente cefeides en la galaxia de Andromeda y después cuando demostró que las galaxias se alejan entre ellas sugiriendo así un universo en movimiento y en expansión.

Sin la contribución de Miss Leavitt este progreso espectacular de la astronomía extragaláctica de los años veinte del siglo pasado no hubiese sido posible. Ella, mientras tanto, no consiguió nunca ningún reconocimiento académico ni laboral. Su categoría laboral no pasó de ayudante, a pesar de la contribución a la ciencia que había hecho. Únicamente al final de su vida se atrevió a asignarse la profesión de astrónoma al responder a la pregunta de un oficial del censo de Boston.

Traducción de la preciosa reseña de Enric Marco i Soler (Depto. Astronomía y Astrofísica Univ. Vcia) al libro: "Antes de Hubble, Misss Leavitt". George Johnson. Ed. Antoni Bosch. Barcelona.2009. Número 66 de la Revista Mètode de la Universitat de València.

Otra reseña:
Hace casi un siglo, en un abarrotado despacho del Observatorio de Harvard, una mujer brillante, hoy casi olvidada, descubrió el secreto de la inmensidad del universo.
Su nombre es Henrietta Swan Leavitt y, en los días en que a las mujeres les estaba prohibido tener carreras científicas, era lo que se conocía como una "calculista" −una calculadora humana de números- que, luchando contra una salud muy débil, descubrió una nueva ley que transformaría la cosmología.


Usando la ley de Leavitt, el legendario astrónomo Edwin Hubble demostró que había estrellas –y galaxias enteras− más allá de la Vía Láctea, y que el universo, como ahora sabemos, es inmensurablemente grande.
Con la gracia y habilidad que le han convertido en uno de los más distinguidos escritores científicos de la actualidad, George Johnson contrasta astutamente la magnitud del descubrimiento de Leavitt con la tranquila obscuridad de su corta vida. Antes de Hubble, Miss Leavitt es tanto un relato brillante de cómo medimos el universo como la emotiva historia de un genio olvidado.

Comentarios de otras astrónomas actuales:
“Partiendo del descubrimiento de Henrietta Leavitt, que resultó fundamental para restablecer las distancias cosmológicas, el autor describe la historia de la investigación de una cuestión que aún hoy en día resulta fascinante: cuánto mide el universo.”
Cristina Manuel – Investigadora Científica, Instituto de Ciencias del Espacio, España

“Este libro entrelaza de una manera admirable historia, astronomía y la lucha de una joven mujer por dejar su huella en el mundo científico.”
Yolanda Gómez – Investigadora, Centro de Radioastronomía, México

“Henrietta Swan Leavitt, y otras astrónomas de Harvard, trabajaron de forma casi anónima en un mundo dominado por los hombres, dejando un impresionante legado que en aquel momento no se les reconoció como se merecían, ya que su papel fue el de meras ayudantes, las llamadas "calculistas" de Harvard.”
Margarida Hernanz – Profesora de investigación, Instituto de Ciencias del Espacio, España

Tiempo, espacio-tiempo y paradigma holográfico (*)

Conforme avanza nuestro conocimiento sobre el universo aparecen más interrogantes, vuelven las eternas preguntas que se han hecho los filósofos de todos los tiempos, aunque la perspectiva ha cambiado sustancialmente. Los principios básicos que vislumbramos sobre la gravedad cuántica nos indican que el propio espacio-tiempo no es el fundamental, eterno e inmóvil referente que siempre hemos creído sino que emerge de una entidad fundamental discreta (no continua) y su propia geometría debe estar inextricablemente ligada a las relaciones causales entre sucesos.


El libro "The trouble with physics", titulado en español " Las dudas de la física en el siglo XXI. ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?", escrito por un gran físico, Lee Smolin, me hizo pensar en su momento, cuando lo leí, en muchas cosas (es un libro crítico con la teoría de cuerdas y un buen libro de física) pero sobre todo en una de gran calado sobre la propia naturaleza del tiempo. Smolin, reflexionando sobre la futura teoría capaz de armonizar la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica (gravedad cuántica), habla de que tiene la sensación de que tanto una como la otra teoría están profundamente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo. Piensa que estamos pasando por alto algo muy importante y esencial sobre el mismo.

¿Solución o problema? El tiempo.
Sitúa el arranque del problema a principios del siglo XVII, cuando Descartes y Galileo introdujeron, de forma realmente genial, el tiempo como una especie de otra dimensión nueva del espacio. En una gráfica situaban el espacio en el eje de las x y el tiempo en el eje de las y, de forma que el propio movimiento aparecía como una curva estática. El movimiento, en cierta forma, se congelaba y el cambio se presentaba estático e inmutable. Desde entonces esta forma de entender el tiempo, según Smolin, ha influido de forma notable en nuestra propia concepción del mismo y, posiblemente, nos ha desviado de su esencia que todavía desconocemos.

Esta reflexión me llevó a escribir el post sobre el ritmo justo del azar. A partir de un conjunto completamente aleatorio de números construimos un movimiento aleatorio browniano cuyo ritmo o velocidad de alejamiento de un punto arbitrario queda perfectamente determinado: cada NxN pasos que da el movimiento sólo lo alejan una distancia efectiva N. Tomemos como tomemos los números aleatorios para construir el movimiento obtendremos el mismo ritmo, una especie de velocidad de alejamiento, obtenida a partir de un conjunto amorfo de números. Establecemos una velocidad fundamental, un ritmo, a los que está ligada tiempo y distancia (pasos). Además este ritmo está directamente relacionado con una característica puramente geométrica, la dimensión fractal de la trayectoria del movimiento.


Universo conexo y paradigma holográfico
Para mi, fenómenos como la no-localidad y la coherencia cuántica nos dan una clave de lo que estamos pasando por alto. No sólo nos equivocamos con el tiempo sino con nuestra percepción de la realidad. La realidad formada por realidades completamente separadas nos ha ayudado a avanzar, a establecer y asentar nuestras verdades científicas, pero quizás ha llegado el momento de considerar que la única forma de seguir adelante sea descartar esa desconexión, si queremos de verdad profundizar en la esencia de nuestro mundo.

¿Es posible que el paradigma holográfico sea el nuevo camino? Personalmente creo que sí, pero no es es significativo porque yo lo crea, sino porque lo piensan así importantes físicos como Jacob D. Bekenstein, el Premio Nobel Gerard `t Hooft, de la Universidad de Utrech, Leonard Susskind, Juan Maldacena, de la Universidad de Harvard, o David Bohm.

Mucho antes de conocer los resultados que da la gravedad cuántica a la singularidad que representa un agujero negro, en base al paradigma holográfico deduje una solución similar (que por otra parte, no es difícil de deducir). De la misma forma que una parte de un holograma, separada del mismo, es capaz de reproducir (aunque con menor nitidez) el holograma completo, supuse que un agujero negro representaba esa misma separación o desconexión del total del universo. En base a esto pensé que en el interior de la singularidad que representa la materia vuelve a proyectarse hacia nuevas regiones del espacio-tiempo, en cierta forma, como un nuevo universo con sus propias características. Siempre siguiendo este hipotético paradigma, se podría suponer que su constante de acción de Planck sería bastante más grande que en el nuestro, lo que supondría una menor definición y mayor incertidumbre (se correspondería con la menor nitidez en la holografía).


Materia-energía e información
No sabemos con total seguridad si todavía existe un nivel de estructuración de la materia aún oculto para nosotros. En este caso los quarks y leptones serían formaciones compuestas de partículas todavía más elementales, pero, independientemente de ese nivel de elementalidad, del estudio de las propiedades de los agujeros negros se han deducido los límites absolutos que acotan la información que cabe en una región determinada del espacio. Teniendo en cuenta que esos límites dependen de la materia y energía contenida en ese espacio es asombroso que se pueda deducir un límite sin conocer ni siquiera, con absoluta certeza, el último componente de la materia.
Sea cual sea el último componente de la materia existe un límite en la información que es capaz de soportar una región determinada del espacio y curiosamente ese límite depende directamente de la superficie capaz de englobar esa región. Si esa superficie la consideramos como el área del horizonte de sucesos de un agujero negro, es como si la información estuviese escrita sobre esta superficie, de suerte que cada bit (cada 0 ó 1 de la codificación digital) correspondiera a 4 áreas de Planck (10 ^–66 centímetros cuadrados), como en una especie de holograma.

(*)Nueva edición de la entrada del 6 de mayo de 2009 sobre el interesante tema del paradigma holográfico. Podéis seguirlo también en otras dos entradas: Teoría holográfica y gravitación o ¿Universo holográfico?.

Felices vacaciones amigos.

Fractales, vacíos cuánticos y bellas teorías

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y el rayo no viaja en línea recta. La complejidad de las formas de la naturaleza difiere esencialmente de la de las formas de la geometría ordinaria, son formas de geometría fractal".
De Introduction to The Fractal Geometry of Nature (B. Mandelbrot)

Hace años leí el libro" Los objetos fractales", de Benoit Mandelbrot, un clásico sobre esta nueva disciplina. En la contraportada decía que los fractales nos permiten afrontar, practicamente, cualquier disciplina de forma nueva, facilitando una nueva mirada y especialización en la misma. Me llamaron poderosamente la atención desde el principio y con sencillos programas empecé a visualizarlos. Con muy pocas instrucciones el programa me introducía en un nuevo mundo de una riqueza increible. Así pasé una temporada, hasta que un día, concentrándome en las características esenciales de los fractales más simples como son las costas, me di cuenta de ciertas semejanzas, a la hora de medirlas, con las medidas que realizamos de la energía del vacío cuántico.


En los fractales sencillos relacionamos distancias características de su desarrollo para calcular su dimensión fractal. En la figura de la curva de Koch, observamos que cada lado de longitud 3 es sustituido por una linea quebrada de longitud 4, en la siguiente iteración. La dimensión fractal de la curva es log 4/ log 3= 1,26186... , en base a esa relación de longitudes. De forma similar, ¿cual podría ser el escalar a relacionar para calcular la dimensión fractal del vacío cuántico?. En el vacío, el escalar determinante de su estructura es la llamada energía virtual, en base a ella conforme las distancias disminuyen su valor aumenta, pues sus magnitudes están en relación inversa. Esa es la razón de que necesitemos enormes energías para estudiar la estructura a distancias sumamente pequeñas y que cada vez los aceleradores de partículas tengan que ser más gigantescos.

En base a estas sencillas consideraciones y teniendo en cuenta las correcciones que detallo en la entrada "La medida natural de las cosas", encontré el valor 9 (3 dim. + 6 coef. dimensional) para la dimensión fractal espacial de las fluctuaciones cuánticas del vacío. Este valor coincidía con las dimensiones totales predichas por las teorías de supercuerdas, lo que en cierta forma significaría que las fluctuaciones cuánticas del vacío serían capaces de recubrir un espacio de 9 dimensiones espaciales, o un espacio-tiempo de 10 dimensiones.


En base a estos resultados, sin embargo, encontré que estas fluctuaciones distarían mucho de permitir el vacío tal como lo conocemos, practicamente plano y estable, capaz de albergar la materia y proporcionando un marco de estabilidad necesaria para el universo que conocemos. Profundizando pude constatar (todavía es pura teoría, desde luego) que ocurría una especie de transición al hacer corresponder el número de dimensiones compactadas (6 dimensiones) con el coeficiente dimensional (igual a 6) (ver un esbozo de esta idea). En esa transición quedaron enmascaradas las 6 dimensiones extras y se "fraguó" el espacio plano y estable que conocemos. Sin ella nuestro universo habría sido un lugar inhabitable y estéril. Las fluctuaciones cuánticas no dependerían del inverso de la distancia e impedirían la existencia de la estabilidad necesaria para que haya materia o incluso partículas estables. El mundo y la belleza que hay en él no habrían sido posible. No existiríamos, ni nosotros ni todo lo bello que somos capaces de observar.



Esa idea fue la que me llevó, en un momento de "sentimiento trascendente", a llamar a esta posibilidad de teoría: "La bella teoría".



Ahora que este blog va tocando, posiblemente, a su fin os descubro el verdadero origen de su nombre. Un abrazo amigos.

El efecto mariposa, un atractor extraño.

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos ( En la figura, atractor extraño "poisson_saturne" hecho con el programa Chaoscope).


Para estudiar estos sistemas se requiere de una metodología diferente. Su estudio se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. Por ejemplo, un péndulo simple ideal se vería representado por dos variables, la velocidad y la posición de la masa suspendida. Su representación podría hacerse, por tanto, en el plano y sería una circunferencia. Cada punto de la misma representaría dos cantidades, la velocidad y la posición, en ese momento.


Esa figura en el espacio de fases, a la que se aproxima el fenómeno estudiado, se le llama su atractor. En los sistemas no caóticos el atractor suele ser un punto, una circunferencia, una figura geométrica conocida, pero en los sistemas caóticos presenta una forma “extraña”, de ahí que reciba el nombre de “atractor extraño”, con una dimensión fraccionaria o fractal ( En la figura, atractor de Lorenz, en 3D, con el programa Chaoscope).

El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Consiguió ajustar el modelo a sólo tres variables que indican como cambian la velocidad y la temperatura del aire a lo largo del tiempo (atractor de Lorenz).


Después de haber estudiado el modelo, volvió a introducir los datos iniciales - esta vez con menos decimales- y el resultado que obtuvo fue completamente diferente del anterior. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. Sus ecuaciones captaban la esencia de la verdadera atmósfera. “Aquel primer día ( invierno de 1961) decidió que los pronósticos amplios estaban condenados a la extinción”. Pero vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad.


Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo.


Sobre el efecto mariposa se han escrito cientos de artículos, novelas, canciones y se han hecho películas. Sobre el tema, es muy interesante un artículo de Enrique Dans, profesor del Instituto de Empresa, en el que compara el “ecosistema de Internet” con los sistemas no lineales y complejos como el tiempo atmosférico:” Las variables en juego ( en Internet) no son tantas: si en el clima hablamos fundamentalmente de velocidad y temperatura del aire, en Internet hablamos de visitas, vínculos y cuestiones afines. Pero el posible impacto de una variación infinitesimal en medición de las variables de origen puede tener un impacto brutal en los resultados finales,...” . “ Criterios que todo el mundo, aparentemente, da por buenos, como el sacrosanto PageRank de Google, la cuenta de vínculos entrantes de una página web que lleva a cabo Technorati o los rankings de popularidad de Alexa son medidas completamente burdas, groseras, carentes de inteligencia, que responden únicamente al deseo e intentar reducir la incertidumbre, pero que lo hacen, en general, bastante mal.”


En este sentido nos encontramos en la era anterior al descubrimiento del efecto mariposa, utilizamos métodos lineales para tratar de analizar los sistemas complejos, no lineales, en donde las realimentaciones de todo tipo, y a todos los niveles, son la propia esencia del sistema. Necesitamos conocer "el atractor extraño de Internet".

Para saber más:"Caos,La creación de una ciencia", de James Gleik. Seix Barral. Barcelona 1988. Un magnífico libro. (Reedición del post del 17 de octubre de 2006.)

¿Podría verse la propia Historia de la humanidad como un sistema muy sensible a las condiciones iniciales? :

"Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo".

Seguir leyendo en: Historia, dignidad y efecto mariposa, de mi colaboración con Libro de notas. Un abrazo.

Teoría del doble sideral

Roger Penrose clasifica a las teorías físicas en tres grupos: soberbias, útiles y tentativas. La teoría del doble sideral entraría, sin duda, dentro de las teorías soberbias. Se elucubró entre bocata y bocata por el llamado grupo de los Teóricos: Vicente Martí, Ximo Moll y yo mismo. Entre los compañeros de trabajo nos empezaron a llamar así por las teorías que se nos ocurrían para explicar la realidad de forma alternativa. Las relaciones entre las personas, entre ambos sexos, en el trabajo... Todo podía ser observado de otra forma y así reflexionar sobre realidades que solemos dar por sentadas. Los pies en el suelo (humildad) y la cabeza en las nubes (imaginación y humor).


Ante las desdichas y sufrimientos que nos rodean a propios y extraños, se nos ocurrió que cada uno de nosotros debemos tener un doble sideral en algún universo paralelo, más allá de todo lo imaginable. Cuando tenemos un mal día coincidirá con el mejor de los días del doble sideral. Si nos despiden aquí en la Tierra el doble sideral es contratado por la mejor compañía, para el mejor trabajo. Si nos deja la novia, el doble sideral consigue el plan de su vida... Todo lo bueno que no podemos hacer nosotros, o no nos dejan, lo hace él. Y así cuando algo nos va mal pensamos en lo bien que le irá a nuestro doble y nos reimos un rato porque, al pensarlo, conseguimos escapar, en cierta forma, de las pequeñas o grandes miserias. La "ley" que sustenta esta teoría sería una especie de "ley de compensación cósmica universal".

Siguiendo al hilo, la llamada "teoría de la mosca" entraría también en el ámbito "teórico" ya indicado. Es una especie de "efecto mariposa" de andar por casa ("una simple mosca es capaz de cambiar la Historia"). En plan algo más serio, esta teoría vendría a diluir la propia causa/efecto:

"Voy a hacer una afirmación sorprendente que, a continuación, trataré de demostrar: nuestra vida viene influida por personas y hechos que, en la mayoría de las veces, nos son desconocidos. Estas personas, si pasan alguna vez junto a nosotros, son completos extraños pero en alguna ocasión han cambiado el rumbo de nuestra existencia, con acciones puramente fortuitas, sin ninguna intencionalidad, y han seguido su camino sin ser conscientes de los hechos que han desencadenado. Ellos, a su vez, no son menos sensibles al curioso entramado de mutua influencia que nos rodea, también tienen su legión de extraños capaces de alterar su destino." Leer más.


A la memoria de mi buen amigo Vicente Martí, el teórico que nos dejó hace una semana después de dolorosa enfermedad. Desde donde esté, Vicente, se estará riendo un rato con este post. Y si existe Cielo nos espera allí.

Felicitaciones a su doble sideral.

En plan más trascendente: mensaje en una botella.

Fractales, una geometría natural (*)

La geometría tan intuitiva que nos enseñan en la escuela, basada en líneas, puntos y superficies supone, en realidad, un gran esfuerzo de abstracción porque estos elementos idealizados no existen en el mundo cotidiano. Una línea real o una superficie están llenas de irregularidades que pasamos por alto para abstraer su esencia y plasmarla en conceptos más sencillos como recta y plano.


Con los fractales, en cierta manera, deshacemos esa abstracción y nos acercamos un poco más al objeto real. Benoït Mandelbrot utiliza el ejemplo sencillo de un objeto real, como son las costas de los países, para aproximarnos a los fractales. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Repasando intuitivamente el concepto de dimensión, observamos que un punto no tiene medida (dimensión cero); a una recta la medimos en metros o centímetros lineales, lo que significa asignarle dimensión uno (una sola medida: largo); a una superficie la debemos medir en metros o centímetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y a un volumen lo medimos en metros o centímetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.

Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal representada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad.

La dimensión fractal también da la capacidad que tiene el objeto de ocupar el espacio. El hilo con dimensión fractal 1,35 es capaz de llenar el plano mejor que el de dimensión 1,25. De hecho, si seguimos arrugándolo más aumentaremos su dimensión fractal y cuando esté cercana a 2 habremos conseguido llenar, casi por completo, una superficie con el hilo. Un fractal clásico de este tipo es la llamada curva de Peano.


Los fractales son objetos esencialmente sencillos, se generan fácilmente por ordenador. Mediante muy pocas órdenes de programación, y a partir de un número mínimo de datos, se crean verdaderas maravillas de una riqueza y complejidad extraordinarias. El fractal de Mandelbrot es un ejemplo. Conforme intentamos ampliar, con medios informáticos, cualquiera de sus partes nos encontramos con un nuevo paisaje similar al original pero con nuevos y sorprendentes detalles. Podemos seguir así cuanto deseemos y nos permita la potencia de nuestro ordenador, se nos seguirá mostrando un nuevo mundo fantástico, que nunca llega a repetirse, en cada nueva ampliación. Un mundo surgido casi de la nada, de una sencilla expresión que se encadena y realimenta con nuevos datos.

Como curiosidad, la expresión es así de sencilla: Valor posterior = (valor anterior) 2 + constante (Con una condición restrictiva).

La observación de estos fractales creados por ordenador, nos recuerda siempre a algún objeto natural desconocido pero cercano, posiblemente, porque esa economía de medios para lograr complejidad es una característica muy propia de la Naturaleza. Es la estrategia adoptada para lograr la mejor distribución de los vasos sanguíneos por todo el cuerpo, la disposición óptima del ramaje de los árboles o de los pliegues del cerebro para conseguir la mayor superficie en el mínimo espacio.

Verdaderas maravillas de arte fractal.

(*) De mi colaboración con Libro de Notas, la columna mensual cienciasyletras.

Triángulos reales y no-triángulos imaginarios

Recientemente, un lector de cienciasyletras me preguntaba si era posible calcular los ángulos de un triángulo escaleno sabiendo los tres lados. Mi respuesta fue que utilizara el teorema de los senos y que tuviera en cuenta que la suma de los tres ángulos debe ser 180º. Con esto se pueden conseguir dos ecuaciones con dos incógnitas que serán dos de los senos buscados... Pero, inmediatamente, me di cuenta de que había una forma mucho más elegante y rápida (gran lapsus, por mi parte por olvidar el teorema del coseno).


Conforme pensaba en esa solución me iba adentrando en el mundo "imaginario" de los números que tienen como base el valor i (la raíz cuadrada de menos uno). Supongamos un triángulo isósceles (la base diferente y los dos lados iguales) y jugaremos a aumentar y a disminuir los dos lados. Conforme los hacemos más grandes la altura del triángulo va aumentando, y al disminuirlos también disminuye con ellos. En el límite, cuando cada uno de los lados es igual a la mitad de la base ya no tenemos ningún triángulo, la altura es cero.

A partir de ahí entramos en el "mundo" de los números imaginarios. Los resultados ya no pertenecen al conjunto de los números reales, sino al de los imaginarios y por tanto decimos que no existen, que los lados ya no se tocan. Pero conforme siguen menguando los dos lados va aumentando el valor de la altura "imaginaria" de este no-triángulo hasta alcanzar un máximo, igual a la mitad de la base, cuando los dos lados tienden a cero (sin llegar a serlo). Conforme disminuyen los lados del no-triángulo imaginario aumenta la altura del mismo hasta un máximo que no puede sobrepasar.

Esto no deja de ser una curiosidad sin más, pero hipotéticamente podríamos considerarlo como un fenómeno de la realidad por el cual a partir de una distancia arbitraria existen dos brazos, de longitud variable, que intentan tocarse. Suponiendo este fenómento en el ámbito de la mecánica cuántica, las posibilidades tienen una componente imaginaria que no se puede descartar y que contribuye, finalmente, al resultado real. De ser así el extraño "mundo" de los no-triángulos imaginarios puede que nos esté diciendo que ellos son tan reales como los propios triángulos, o al menos su extraño mundo es esencial para que nuestro mundo real sea tan peculiar como nos indica la mecánica cuántica.



Los lados del triángulo real llegan a tocarse y determinan la longitud de la altura, que puede ser arbitrariamente grande, hasta llegar al infinito. Los lados del no-triángulo imaginario, en cambio, sin llegar a tocarse en el mundo real, parecen adivinar la distancia que les separa. Cuando apenas son un infinitésimo en los dos extremos de la base, determinan un no-triángulo con una altura igual a la mitad de la misma base. ¿Es un indicio de las propiedades holísticas que presenta la mecánica cuántica, o del protagonismo que parece tener el "mundo" imaginario en ella?.

Desarrollo (sólo para quien tenga curiosidad):
Si nos fijamos en la figura, hacemos descansar la base del triángulo en el eje de las x . Desde un extremo construimos una circunferencia de radio igual a uno de los lados, y desde el otro extremo otra circunferencia de radio igual al otro lado. Con los valores encontrados de las x e y del punto (y es la altura del triángulo obtenido) podemos calcular fácilmente la tangente de los dos ángulos C y A, y el B será 180º -A - C.




La tangente del ángulo C será el cociente y/x. La tangente del ángulo A será : y/(b-x).

Hasta aquí todo resulta muy normal, pero ¿qué ocurriría si la suma de los dos lados a y c es menor que el valor del lado b, de la base del triángulo? Lógicamente no habría triángulo, pues las dos circunferencias no llegarían a tocarse. ¿Qué resultados obtendríamos al proceder de la forma que lo hemos hecho? Los valores encontrados serían imaginarios, lo que significa que no existen en la realidad, pero sí en el "mundo" de los llamados números imaginarios cuya base es el valor i, correspondiente a la raíz cuadrada del número -1. Sólo en ese "mundo" tendrían sentido, pero eso no nos impide estudiar lo que pasa.

Para simplificar, modificaremos el triángulo. La base será b, pero los dos lados a y c serán iguales y les llamaremos a los dos a. Los resultados serán imaginarios siempre que a sean menores que b/2.

Procediendo de forma similar a como hemos visto encontramos que la altura h del triángulo (el valor de la y) en función del cociente n= b/a será :
y = h = + - b/2n √(4- n²)

La menor altura es cuando el valor de cada uno de los lados a tienden a la mitad de la base. La mayor altura h la tenemos cuando los lados tienden a cero y, por tanto, el valor de n se hace infinito. Entonces la altura será b/2.


Finalmente:
En el "mundo " real conforme los lados se hacen mayores la altura también aumentará tanto cuanto queramos, tendiendo a infinito. Cuando los lados disminuyen irá disminuyendo la altura hasta hacerse cero cuando los lados sean igual a la mitad de la base. Conforme los lados se van haciendo menores que la mitad de la base entramos en otro "mundo", el de los números imaginarios y la altura va aumentando conforme disminuyen los dos lados hasta hacerse máxima, con el valor b/2 ( la mitad de la base) para valores de los dos lados tendiendo a cero. La mayor altura b/2 del no-triángulo se obtiene para una base de valor b y dos lados de valor "prácticamente cero".